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Composantes du vecteur accélération
Bonjour chers amis,
Je profite des vacances de Toussaint pour réviser mes cours. Je suis en 1ère année de prépa intégré en école d'ingénieur (ISTIA) et j'ai quelques problèmes de compréhensions.
A savoir, une dérivée toute simple, pourrais-je dire ? Car je sais bien évidemment que pour v[M(t)] est la dérivée de OM(t), et que a[M(t)] est la dérivée de v[M(t)].
Je retrouve assez facilement les composantes de la vitesse avec les formules :
dl = dx.
+ dy.
+ dz.
( cartésien);
dl = d
.u() + . d
.u() + dz. (cylindrique);
dl = dr.u(r) + r.d
.u() + r.sin(). d.u() ( sphérique).
En se situant sur ces 3 repères différents, on trouve premièrement les coordonnées du vecteur vitesse suivants :
* Repère cartésien :
v[M(t)]= x'. + y'. + Z'.
* Repère cylindrique :
v[M(t)]= '.u() + .'.u() + z'.
* Repère sphérique :
v[M(t)]= r'.u(r) + r.'.u() + r.sin().'.u()
Naturellement pour le repère cartésien je trouve les composantes (x";y";z").
Mais pour les deux autres repère je ne vois pas le concept, en fait. Si vous pouviez me donner le raisonnement nécéssaire, ça serait top.
Voici le Cylindrique : ("-'²; 2.'.' + ."; z")
et le sphérique : (r"-r.'²-r.'².sin²(); r. + 2.r'.' - r.sin().cos().'²; r.sin()."+2.r'.'.sin()+ 2.r.'.'.cos() )
Pouvez vous me détailler le calcul de la dérivée pour passer des composantes vitesses à accélérations, s.v.p ?
PS : J'ai jamais mis autant de temps pour faire un topic.
PS2 : u(quelque chose) représente des vecteurs d'unités.
PS3 : Si vous avez des questions juste pour la forme de la question, posez.
d'après de lointains souvenir:
Soit (r, , ) les coordonnées polaires qui correspondent aux coordonnées cartésiennes (rcos()cos(), rsin()cos(), rsin())
Tu as donc:
dx = 
x/r
dr+x/d+x/d = fonction de (dr, d,d)
idem pour dy et dz
donc dx/dt = rx(r,,)dr/dt +....d/dt +...d/dt et tu retrouves la formes que tu as données quand tu l'exprimes dans le repère ur, u et u
Mais cela m'a donnée envie de revoir ça de plus près...
Soit une base polaire (U,U,Uz) :
En coordonnées cylindrique :
OM(t) = * U + zUz
v(t) = * U + * d/d * d / dt (j'introduis d tout simplement)
= d/dt * U + * d/dt * U + dz/dt * Uz
Je note avec (°) = dérivé première et (°°) = dérivée seconde histoire d'être plus lisible
a(t) = (°°) * U + (°) * (°) * U + * (°°) * U - * (°) * (°) * U
Car d(U/dt) = d()/) * d() / dt = - (°) * U.
Et après simple factorisation.
Désolé si y a une petite erreur même si je ne pense pas car c'est franchement dur de rédiger avec les noations sur PC ...
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