Niveau licence

Commutateurs en quantiques

Posté par
Kovak 28-11-20 à 23:07

Bonjour,

Je rencontre quelque problème à comprendre la correction d'une question venant d'un exercice d'introduction aux commutateurs.

Enoncé :

On considère une particule de masse m plongée dans un potentiel harmonique à une dimension et on rappelle que le terme d'énergie potentielle s'écrit $\hat{V}=\frac{1}{2}mw^{2}\hat{x}^{2}$

Il est demandé d'appliquer le théorème d'Ehrenfest au cas de l'oscillateur harmonique pour en déduire les équations différentielles vérifiées par $\left<\hat{x} \right>$ et $\left<\hat{p} \right>$ .

La correction est la suivante :

Pour $\left<\hat{x} \right>$ :
$\frac{d\left<x\right>}{dt}=\frac{1}{i\hslash}\left<\Psi \left|\left[^\hat{x},\hat{H} \right] \right| \Psi \right>=\frac{1}{i\hslash}\left<\Psi \left|\left[\hat{x}^{2},\frac{\hat{p}^{2}}{2m} \right] \right| \Psi \right>$ (Equation 1)

Or,
$\left[\hat{x},\hat{p}^{2} \right]=\hat{x}\hat{p}^{2} -\hat{p}\hat{x}\hat{p}+\hat{p}\hat{x}\hat{p}-\hat{p}^{2}\hat{x}=\left[\hat{x},\hat{p}] \right\hat{p}+\hat{p}\left[\hat{x},\hat{p} \right]=-2ih\hat{p} \\$

Donc,
$\frac{d\left<\hat{x} \right>}{dt}=\frac{\left<\hat{p} \right>}{m}$ (Equation 3)

Pour $\left<\hat{p} \right>$ :
$\frac{d\left<p \right>}{dt}=\frac{1}{i\hslash}\left<\Psi \left|\left[^\hat{p},\hat{H} \right] \right| \Psi \right>$ $=\frac{1}{i\hslash}\left<\Psi \left|\left[^\hat{p},\frac{1}{2}mw^{2}\hat{x}^{2} \right] \right| \Psi \right>$ (Equation 2)

Or,
$\left[\hat{p},\hat{x^{2}} \right]=\hat{p}\hat{x}^{2} -\hat{x}\hat{p}\hat{x}+\hat{x}\hat{p}\hat{x}-\hat{x}^{2}\hat{p}=[\hat{p}\hat{x} ]\hat{x}+\hat{x}\left[\hat{p},\hat{x} \right]=-2ih\hat{x}$

Donc,
$\frac{d\left<\hat{p} \right>}{dt}=-m\omega ^{2}\left<\hat{x} \right>$ (Equation 4)

Ce que j'ai du mal à comprendre c'est que dans (Equation 1), pour $\left<\hat{x} \right>$ , pourquoi nous ne prenons que la partie $\frac{\hat{p}^{2}}{2m}$ de $\hat{H}$ dans le commutateur ? Et donc également pour $\left<\hat{p} \right>$ , dans (Equation 2), pourquoi nous ne prenons que la partie $\hat{V}=\frac{1}{2}mw^{2}\hat{x}^{2}$ ?

Aussi, que veulent dire les équations finales obtenues (Equation 3 et 4). J'ai du mal à voir ce qu'elles signifient physiquement.

Merci pour le temps que vous m'accorderez.

Posté par re : Commutateurs en quantiques 29-11-20 à 08:39

Bonjour,

Pour la première question c'est simplement que $\hat{x}$ commute avec lui-même et avec   $\hat{x}^n$

(4) est l'équivalent quantique de   $F=\frac {dp}{dt}=-kx$
(3)  idem pour $v=\frac pm$

C'est l'équation de l'oscillateur harmonique en représentation d'Heisenberg, voir par exemple

Je suppose que votre notation $<\hat{x}>$ pour l'opérateur d'Heisenberg est là pour le distinguer de $\hat{x}$ , l'opérateur de Schrödinger.

Posté par re : Commutateurs en quantiques 01-12-20 à 02:02

Je comprends mieux pour la première question merci.

A propos de $\left<\hat{x} \right>$ , que voulez-vous dire par opérateur de Schrödinger ? Ici je voyais surtout $\left<\hat{x} \right>$ comme la moyenne temporelle temporelle telle que $\left<\hat{x} \right>=\left<\Psi \left|\hat{x} \right| \Psi \right>$

Posté par re : Commutateurs en quantiques 01-12-20 à 07:15

Bonjour,

Il se trouve que l'opérateur $\hat x$ en représentation-q de Schrödinger est une simple multiplication par x, donc on ne voit pas clairement son statut d'opérateur, mais vous savez que l'opérateur $\hat p$ est $-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$ .

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de physique

Fiches de physique - chimie

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Commutateurs en quantiques

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de physique