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Commutateurs en quantiques

Posté par
Kovak
28-11-20 à 23:07

Bonjour,

Je rencontre quelque problème à comprendre la correction d'une question venant d'un exercice d'introduction aux commutateurs.

Enoncé :

On considère une particule de masse m plongée dans un potentiel harmonique à une dimension et on rappelle que le terme d'énergie potentielle s'écrit \hat{V}=\frac{1}{2}mw^{2}\hat{x}^{2}

Il est demandé d'appliquer le théorème d'Ehrenfest au cas de l'oscillateur harmonique pour en déduire les équations différentielles vérifiées par \left<\hat{x} \right> et \left<\hat{p} \right>.

La correction est la suivante :

Pour \left<\hat{x} \right> :
\frac{d\left<x\right>}{dt}=\frac{1}{i\hslash}\left<\Psi \left|\left[^\hat{x},\hat{H} \right] \right| \Psi \right>=\frac{1}{i\hslash}\left<\Psi \left|\left[\hat{x}^{2},\frac{\hat{p}^{2}}{2m} \right] \right| \Psi \right> (Equation 1)

Or,
\left[\hat{x},\hat{p}^{2} \right]=\hat{x}\hat{p}^{2} -\hat{p}\hat{x}\hat{p}+\hat{p}\hat{x}\hat{p}-\hat{p}^{2}\hat{x}=\left[\hat{x},\hat{p}] \right\hat{p}+\hat{p}\left[\hat{x},\hat{p} \right]=-2ih\hat{p}
 \\

Donc,
\frac{d\left<\hat{x} \right>}{dt}=\frac{\left<\hat{p} \right>}{m} (Equation 3)

Pour \left<\hat{p} \right> :
\frac{d\left<p \right>}{dt}=\frac{1}{i\hslash}\left<\Psi \left|\left[^\hat{p},\hat{H} \right] \right| \Psi \right>=\frac{1}{i\hslash}\left<\Psi \left|\left[^\hat{p},\frac{1}{2}mw^{2}\hat{x}^{2} \right] \right| \Psi \right> (Equation 2)

Or,
\left[\hat{p},\hat{x^{2}} \right]=\hat{p}\hat{x}^{2} -\hat{x}\hat{p}\hat{x}+\hat{x}\hat{p}\hat{x}-\hat{x}^{2}\hat{p}=[\hat{p}\hat{x} ]\hat{x}+\hat{x}\left[\hat{p},\hat{x} \right]=-2ih\hat{x}

Donc,
\frac{d\left<\hat{p} \right>}{dt}=-m\omega ^{2}\left<\hat{x} \right> (Equation 4)


Ce que j'ai du mal à comprendre c'est que dans (Equation 1), pour \left<\hat{x} \right>, pourquoi nous ne prenons que la partie \frac{\hat{p}^{2}}{2m} de \hat{H} dans le commutateur ? Et donc également pour \left<\hat{p} \right>, dans (Equation 2), pourquoi nous ne prenons que la partie \hat{V}=\frac{1}{2}mw^{2}\hat{x}^{2} ?

Aussi, que veulent dire les équations finales obtenues (Equation 3 et 4). J'ai du mal à voir ce qu'elles signifient physiquement.

Merci pour le temps que vous m'accorderez.

Posté par
gts2
re : Commutateurs en quantiques 29-11-20 à 08:39

Bonjour,

Pour la première question c'est simplement que \hat{x} commute avec lui-même et avec  \hat{x}^n

(4) est l'équivalent quantique de  F=\frac {dp}{dt}=-kx
(3)  idem pour v=\frac pm

C'est l'équation de l'oscillateur harmonique en représentation d'Heisenberg, voir par exemple

Je suppose que votre notation <\hat{x}> pour l'opérateur d'Heisenberg est là pour le distinguer de \hat{x}, l'opérateur de Schrödinger.

Posté par
Kovak
re : Commutateurs en quantiques 01-12-20 à 02:02

Je comprends mieux pour la première question merci.

A propos de \left<\hat{x} \right>, que voulez-vous dire par opérateur de Schrödinger ? Ici je voyais surtout \left<\hat{x} \right> comme la moyenne temporelle temporelle telle que \left<\hat{x} \right>=\left<\Psi \left|\hat{x} \right| \Psi \right>

Posté par
gts2
re : Commutateurs en quantiques 01-12-20 à 07:15

Bonjour,

Il se trouve que l'opérateur \hat x en représentation-q de Schrödinger est une simple multiplication par x, donc on ne voit pas clairement son statut d'opérateur, mais vous savez que l'opérateur \hat p est -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}.



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