Niveau licence

collision proton-ion

Posté par
colyne 09-05-09 à 13:11

voila je dois rédiger cet exercice pour lundi et j'ai quelques problèmes
tout d'abord voici l'énoncé :

un proton P de masse m, est lancé en direction d'un ion lourd considéré comme fixe au point O. Sa trajectoire suit l'axe Ox. Initialement le proton est "loin" de l'ion (x= + l'infini) et sa vitesse initiale (à l'infini) est vo<0. L'ion exerce sur le proton une force répulsive de norme k/x^2. On néglige toutes les autres forces.

1- faire un schéma : tracer la trajectoire, la vitesse, la force. Etablir l'équationdifférentielle vérifiée par x(t).

2- calculer l'énergie potentielle U(x) du proton puis son énergie mécanique Em. ON imposera U=0 à l'infini. Démontrer que Em est une constante et calculer Em en fonction de m et vo.

3- tracer sur un même graphe U et Em en fonction de x et montrer l'énergie cinétique.

4- Exprimer v^2 en fonction de x et des constantes. Démontrer que le proton ne peut pas atteindre O. Calculer la distance minimale xmin. Décrire qualitativement tout le mouvement du proton.

mes questions :

1- je trouve comme équa diff : m.dx^2-k/X^2=0 (dx^2 la dérivé seconde de x et ^ indiquant les puissances )

2-U(x) = -k/x + constante mais je ne trouve pas de valeur numérique
Em= -k/x + 1/2mVo^2
mai je n'arrive pas à démontrer que Em est une constante

3- pour le graphe je me doute qu'il doit être de la même forme que -1/x mais faut je n'arrive pas à plus préciser et les valeurs en l'infini seraient donc des valeurs interdites car elles dépasseraient la valeur de l'énergie mécanique

4- je n'arrive pas du tout à exprimer xmin.

voila désolé pour la longueur et merci d'avance pour votre aide ( av dimanche soir svp ! )

Posté par re : collision proton-ion 09-05-09 à 20:58

Bonsoir,
1)le schéma, je passe... Je pense que tu sais faire.
$m\,\frac{d^2x}{dt^2}\,=\,\frac{k}{x^2}$
$m\,\frac{d^2x}{dt^2}\,-\,\frac{k}{x^2}\,=\,0$

2) L'énergie potentielle est $U(x)\,=\,-\frac{k}{x}$
Faut-il le démontrer ? Si oui, je peux faire le calcul si ça pose un problème.
Em est constante parce qu'il n'y a pas de frottement donc l'énergie se conserve. Il y a simplement échange entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle.
Em =(1/2) m v₀² parce qu'à l'infini, la vitesse est v₀ et l'énergie potentielle est nulle.

3) je ferai le graphe après si nécessaire.

La 4ème question suit dans peu de temps...

Posté par re : collision proton-ion 09-05-09 à 21:19

4)
$m\,\frac{d^2x}{dt^2}\,=\,\frac{k}{x^2}$
$\frac{d^2x}{dt^2}\,=\,\frac{k}{m}\,\frac{1}{x^2}$
On multiplie par   $\frac{dx}{dt}$
$\frac{dx}{dt}\,\frac{d^2x}{dt^2}\,=\,\frac{k}{m}\,\frac{1}{x^2}\,\frac{dx}{dt}$
On peut intégrer :
$\frac{1}{2}\,v^2\,=\,-\,\frac{k}{m}\,\frac{1}{x}\,+\,\frac{1}{2}\,v_0^2$
La constante d'intégration est égale à   $\frac{1}{2}\,v_0^2$   parce que, quand x+, v = v₀.
$v^2\,=\,-\,\frac{2\,k}{m}\,\frac{1}{x}\,+\,v_0^2$

On a   $v^2\,\ge\,0$ $v_0^2\,-\,\frac{2\,k}{m}\,\frac{1}{x}\,\ge\,0$
$\frac{2\,k}{m}\,\frac{1}{x}\,\,\le\,v_0^2$
$\frac{1}{x}\,\,\le\,\frac{m}{2\,k}\,v_0^2$
$x\,\ge\,\frac{2\,k}{m\,v_0^2}$

Donc   $x_{min}\,=\,\frac{2\,k}{m\,v_0^2}$

Le mouvement du proton est un mouvement décéléré. A x_min, la vitesse s'annule et le proton, soumis à la force électrique répulsive, repart dans l'autre sens avec un mouvement accéléré.