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Circuit RLC en régime sinusoïdal forcé

Posté par
Naclona 05-11-12 à 10:35

Bonjour, je suis bloquée au niveau de cet exercice et je ne peux pas continuer sans répondre à la question.. Merci d'avance de votre aide!

1) Bobine idéale

On étudie le circuit RLC ci-contre. Dans la première partie de problème, la bobine d'inductance L est supposée idéale. On note us(t) la tension aux bornes du conducteur ohmique ( tension de sortie ). Le régime est sinusoïdal forcé de pulsation w, et la tension e(t) a une phase  l'origine nulle.

Amplitudes complexes

1) Um et Em sont les amplitudes respectives des tensions us(t) et e(t). On note us la phase à l'origine de us(t). Donner les expressions de us(t) et e(t) en fonction de leurs amplitudes et de leurs phases à l'origine respectives en fonction du temps.

Je trouve e(t)=Em*cos(wt) et us(t)=Um*cos(wt+us)

2) Donner les expressions des tensions complexes us(t) et e(t) en fonction de leurs amplitudes et de leurs phases à l'origine respectives en fonction du temps. En déduire les expressions des amplitudes complexes Um et Em telles que us(t)=Um*exp(jwt) et e(t)=Em*exp(jwt)

Je trouve us(t)=Um*exp(j(wt+us) donc Um=Um*exp(j(2wt+us))
et e(t)=Em*exp(jwt) donc Em=Em

3) Donner l'expression de l'impédance complexe Z du dipole AB en le mettant sous la forme Z=a+jb a et b

Je trouve Z= R+j(Lw-(1/Cw))

4) Exprimer en fonction de R,L,C et w le rapport complexe H(w)=Um/Em appelée fonction de transfert complexe.

Ca je n'y arrive pas, j'essaye de faire apparaître Z pour faire apparaître R,L et C mais ça ne fonctionne pas...


Pour la suite du problème, on pose
w0=1/(LC) qui est la pulsation propre du circuit,
x=w/w0, la pulsation réduite
Q=(L/R)*w0, le facteur de qualité du circuit

5) Donner l'expression du facteur de qualité en fonction de R,C et w0
6) Montrer que la fonction de transfert complexe peut se mettre sous la forme : H(x)= k / (1 + jQ(x-1/x))


Ces questions là je saurai peut être y répondre si je trouve la Q4...

pour la suite de l'exercice je posterai si nécessaire...
Merci !

Circuit RLC en régime sinusoïdal forcé

Posté par
Naclonare : Circuit RLC en régime sinusoïdal forcé 05-11-12 à 15:23

Pour la Q4, je trouve H(w) = ( R/((R²+(-1/Cw+Lw)²) )* exp(j(2wt+us)).

Quelqu'un pourrait-il me dire si c'est juste ou s'il faut encore que je simplifie exp(j(2wt+us)), dans ce cas je ne sais pas faire?

Posté par
Marc35re : Circuit RLC en régime sinusoïdal forcé 05-11-12 à 17:38

Bonjour,
\large \underline{u_s(t)}\,=\,U_m\,e^{j\left(\omega t+\phi_{u_s}\right)}
\large \underline{u_s(t)}\,=\,U_m\,e^{j\phi_{u_s}}\,e^{j\omega t}
Donc :
\large \underline{U_m}\,=\,U_m\,e^{j\phi_{u_s}}
Et :
\large e(t)\,=\,E_m\,e^{j\omega t}
Donc :
\large \underline{E_m}\,=\,E_m

Pour la 3
OK pour  Z\,=\,R\,+\,j\,\left(L\omega\,-\,\frac{1}{C\,\omega}\right)
que l'on peut écrire :
Z\,=\,R\,+\,j\,\frac{LC\omega^2\,-\,1}{C\,\omega}

Pour la 4 :
\large \underline{H}(\omega)\,=\,\frac{\underline{U_m}}{\underline{E_m}}\,=\,\frac{R}{R\,+\,j\,\frac{LC\omega^2\,-\,1}{C\,\omega}}\,=\,\frac{1}{1\,+\,j\,\frac{LC\omega^2\,-\,1}{R\,C\,\omega}}

Posté par
Marc35re : Circuit RLC en régime sinusoïdal forcé 05-11-12 à 17:44

Le circuit étant le suivant :

Circuit RLC en régime sinusoïdal forcé

Posté par
Naclonare : Circuit RLC en régime sinusoïdal forcé 05-11-12 à 17:51

Bonjour,
j'avais réctifié mes erreurs jusqu'à la question 3, cependant pour la question 4 je ne comprends pas pourquoi Um= R et Em=Z...

Posté par
Naclonare : Circuit RLC en régime sinusoïdal forcé 05-11-12 à 18:02

En tout cas merci, j'ai pu faire la Q6.
Pour la Q5 je trouve que Q=1/RC*w0

et pour la Q6 je me suis servie du fait que je sais aussi que Q=L/R*w0 donc je trouve H(x)= 1/ (1+jQ(1-1/x)) donc k=1.

Posté par
Marc35re : Circuit RLC en régime sinusoïdal forcé 05-11-12 à 18:07

Il est préférable d'écrire la fonction de transfert sous une autre forme...

\large \underline{H}(\omega)\,=\,\frac{1}{1\,+\,j\,\frac{LC\omega^2\,-\,1}{R\,C\,\omega}}

\large \underline{H}(\omega)\,=\,\frac{RC\omega}{RC\omega\,+\,j\,\left(LC\omega^2\,-\,1\right)}

\large \underline{H}(\omega)\,=\,\frac{jRC\omega}{jRC\omega\,-\,\left(LC\omega^2\,-\,1\right)}

\large \underline{H}(\omega)\,=\,\frac{jRC\omega}{1\,+\,jRC\omega\,-\,LC\omega^2}
Que l'on peut écrire :
\large \underline{H}(\omega)\,=\,\frac{jRC\omega}{1\,+\,jRC\omega\,-\,\frac{\omega^2}{\omega_0^2}}

\large \underline{H}(\omega)\,=\,\frac{jRC\omega}{1\,+\,j\frac{RC}{\sqrt{LC}}\,\frac{\omega}{\omega_0}\,-\,\frac{\omega^2}{\omega_0^2}}    avec   \omega_0^2\,=\,\frac{1}{LC}

\large \underline{H}(\omega)\,=\,\frac{jRC\omega}{1\,+\,jR\sqrt{\frac{C}{L}}\,\frac{\omega}{\omega_0}\,-\,\frac{\omega^2}{\omega_0^2}}

qui est la forme dite "canonique"

Posté par
Marc35re : Circuit RLC en régime sinusoïdal forcé 05-11-12 à 18:09

Citation :
pour la question 4 je ne comprends pas pourquoi Um= R et Em=Z...

Ce n'est pas ce que j'ai écrit...
J'ai simplement appliqué la formule du pont diviseur !...

Posté par
Naclonare : Circuit RLC en régime sinusoïdal forcé 05-11-12 à 18:16

Très bien, je vais essayer de voir où vous appliquez le pont diviseur...
Pour la forme canonique, je verrai si elle m'est utile dans la suite mais pour l'instant l'expression plus simple m'a suffit

Posté par
Marc35re : Circuit RLC en régime sinusoïdal forcé 05-11-12 à 18:38

OK pour la 5.
Pour la 6, il est plus simple de prendre la fonction de transfert sous la forme :
\large \underline{H}(\omega)\,=\,\frac{1}{1\,+\,j\,\frac{LC\omega^2\,-\,1}{R\,C\,\omega}}

\Large \underline{H}(\omega)\,=\,\frac{1}{1\,+\,j\,\frac{LC}{RC}\frac{\omega^2\,-\,\frac{1}{LC}}{\omega}}

\Large \underline{H}(\omega)\,=\,\frac{1}{1\,+\,j\,\frac{L}{R}\,\frac{1}{\sqrt{LC}}\,\frac{\omega^2\,-\,\omega_0^2}{\omega\,\omega_0}}

\Large \underline{H}(\omega)\,=\,\frac{1}{1\,+\,j\,\frac{1}{R}\,\sqrt{\frac{L}{C}}\,\left(\frac{\omega}{\omega_0}\,-\,\frac{\omega_0}{\omega}\right)}

En posant :
x\,=\,\frac{\omega}{\omega_0}
Q\,=\,\frac{1}{R}\,\sqrt{\frac{L}{C}}
k\,=\,1
on a bien \underline{H}(\omega)  qui s'écrit sous la forme :
\Large \underline{H}(\omega)\,=\,\frac{k}{1\,+\,j\,Q\,\left(x\,-\,\frac{1}{x}\right)}

Il est facile de montrer que :
\large Q\,=\,\frac{1}{R}\,\sqrt{\frac{L}{C}}
\large \omega_0^2\,=\,\frac{1}{LC}\,\Rightarrow\,L\,=\,\frac{1}{C\omega_0^2}
D'où :
\large Q\,=\,\frac{1}{R}\,\sqrt{\frac{1}{C^2\omega_0^2}}
\large Q\,=\,\frac{1}{RC\omega_0}

Il s'agit donc bien du même coefficient Q.

Posté par
Marc35re : Circuit RLC en régime sinusoïdal forcé 05-11-12 à 18:40

Pour le pont diviseur :

\Large \underline{H}(\omega)\,=\,\frac{\underline{U_m}}{\underline{E_m}}\,=\,\frac{R}{Z}\,=\,\frac{R}{R\,+\,j\,\frac{LC\omega^2\,-\,1}{C\,\omega}}\,=\,\frac{1}{1\,+\,j\,\frac{LC\omega^2\,-\,1}{R\,C\,\omega}}

Posté par
Naclonare : Circuit RLC en régime sinusoïdal forcé 05-11-12 à 18:49

Merci beaucoup, je vais rédiger cette partie au propre, et puis si j'ai besoin d'aide pour la suite je reviendrai !

Posté par
Naclonare : Circuit RLC en régime sinusoïdal forcé 05-11-12 à 19:02

Pour le pont  diviseur, est-ce juste d'écrire Um=Zr*im et Em=Z*im puis de diviser Um par Em ?

Posté par
Marc35re : Circuit RLC en régime sinusoïdal forcé 05-11-12 à 19:46

C'est juste effectivement... Mais tu démontres la formule du pont diviseur !...

Posté par
Naclonare : Circuit RLC en régime sinusoïdal forcé 05-11-12 à 19:57

Ahhh mais c'est parce que dans mon cours on n'a pas de partie " pont diviseur " donc je ne comprenais pas vraiment comment tu faisais donc je préfère l'écrire comme ça pour être sûre de m'en souvenir !

Posté par
Marc35re : Circuit RLC en régime sinusoïdal forcé 05-11-12 à 20:03

Le pont diviseur, tu as dû le voir avant... en Terminale, je pense, à part que c'était en courant continu mais c'est valable en courant alternatif à condition d'utiliser les impédances complexes...

Posté par
Naclonare : Circuit RLC en régime sinusoïdal forcé 05-11-12 à 21:04

En fait je l'ai vu cette année mais pas en courant alternatif donc je n'avais pas tilté que le pont fonctionnait avec les impédances complexes, mais maintenant, c'est bon!

En tout cas, j'ai continué la suite de l'exo mais je suis de nouveau bloquée ;

Analyse du déphasage

1) Donner l'expression du déphasage us de us(t) par rapport à e(t) en fonction de Q et de x

J'ai trouvé tan(us)=Q*((1/x)-x)

2) Calculer la valeur de x puis la valeur de w pour laquelle le déphasage entre us(t) et e(t) est nul.

x=1 et w=w0

3) Calculer les limites de us lorsque x0 et x+

x0 tan(us)+
x+ tan(us)-

Analyse du gain

On note G(x)=|H(x)|=Um/Em appelée gain en amplitude
1) Donner l'expression de G(x) et calculer ses limites quand x0 et x+

G(x) = 1/((1+Q²(x-1/x)²)
x0 G(x)0
x+ G(x)0

2) Montrer que G(x) passe par un maximum, noté Gmax et indépendant du facteur qualité Q du circuit.

J'ai essayé de calculer la dérivée pour faire un tableau de variations mais ça ne mène à rien et il me faut l'expression de Gmax pour faire la suite de l'exo :/

Posté par
Naclonare : Circuit RLC en régime sinusoïdal forcé 06-11-12 à 17:41

Finalement j'ai trouvé Gmax = 1 et je pense que je n'aurai plus besoin d'aide.
Merci Marc35 !

Posté par
Marc35re : Circuit RLC en régime sinusoïdal forcé 06-11-12 à 18:36

Il y aurait quelques rectifications à faire...
Notamment, on te demande \phi_{us} et non pas tan(\phi_{us})

Posté par
Marc35re : Circuit RLC en régime sinusoïdal forcé 06-11-12 à 18:41

Effectivement, |G| passe par un maximum pour x = 1 et Gmax = 1  (indépendant de Q.

Posté par
Naclonare : Circuit RLC en régime sinusoïdal forcé 06-11-12 à 18:55

Oui j'ai remarqué en recopiant au propre mais le déphasage est un point que je n'ai pas très bien compris dans mon cours alors je laisse une fois comme cela puisque ça ne me bloque pas et je verrai au corrigé... Je ne veux pas non plus abuser de l'aide... :/

Posté par
Marc35re : Circuit RLC en régime sinusoïdal forcé 06-11-12 à 19:28

Au lieu de mettre :
\large tan(\phi_{us})\,=\,Q\,\left(\frac{1}{x}\,-\,x\right)
il suffit de mettre :
\large \phi_{us}\,=\,arctan\left(Q\,\left(\frac{1}{x}\,-\,x\right)\right)

Posté par
Marc35re : Circuit RLC en régime sinusoïdal forcé 06-11-12 à 19:37

Notamment pour la 3 :
x0 tan(us)+
x+ tan(us)-

Il vaudrait mieux écrire :
\normalsize x\,\rightarrow\,0\,\Rightarrow\,\phi_{us}\,\rightarrow\,+\frac{\pi}{2}
\normalsize x\,\rightarrow\,+\infty\,\Rightarrow\,\phi_{us}\,\rightarrow\,-\frac{\pi}{2}

Posté par
Naclonare : Circuit RLC en régime sinusoïdal forcé 06-11-12 à 19:51

D'accord, merci encore une fois !! Je vais essayer de le terminer seule! Bonsoir


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