Niveau maths sup

Circuit RL (tension sinusoïdale)

Posté par
masterrr 04-11-08 à 14:59

Bonjour,

Je voudrais savoir si mes réponses sont correctes s'il vous plaît.
De plus, quelques questions me posent problème alors si vous pouviez m'aider ce serait gentil.
Merci d'avance !

Dans ce montage, la bobine $3$ (r,L)$ est alimentée par une tension sinusoïdale : $3$ v(t)=V\sqrt{2}\cos(\theta+\theta_0)$ avec $3$ \theta=\omega t$ , $3$ \omega$ désignant la pulsation.

On ferme l'interrupteur à t=0. L'angle $3$ \theta_0$ est indéterminé car l'instant de fermeture avec un interrupteur classique ne peut être choisi en fonction de la valeur instantannée de la tension d'alimentaion.

1.a. Etablir l'quation différentielle satisfaite par l'intensité $3$ i(t)$ dans la bobine.
1.b. Chercer la solution du régime permanent sous la forme $3$ I\sqrt{2}\cos(\theta+\theta_0-\phi)$ et calculer $3$ I$ et $3$ \phi$ .
Chercher la solution du régime libre en fonction de $3$ I$ , $3$ \theta$ , $3$ \theta_0$ , $3$ \phi$ et $3$ \tau=\frac{L}{r}$ .

2.a. A quelle conditition le régime permanent s'établit-il immédiatement à t=0 sans régime libre ? Cette condition sera exprimée par une relation entre $3$ \theta_0$ et $3$ \phi$ .
2.b. La condition précédente éant remplie, on considère le cas particulier où $3$ r << L\omega$ . Donner la valeu approchée de $3$ \phi$ .
Donner dans ce cas, les expressions approchées de $3$ i(t)$ en fonction de $3$ I$ , $3$ \theta$ et de $3$ v(t)$ en fonction de $3$ V$ , $3$ \theta$ . Représenter rapidement $3$ i(t)$ et $3$ v(t)$ en fonction de $3$ \theta$ .

3.a. A quelle condition portant sur $3$ \theta_0$ et $3$ \phi$ le régime libre a-t-il son amplitude maximum ?
3.b. La condition précédente étant remplie et toujous dans le cas où $3$ r << L\omega$ , donner les expressions approchées de $3$ i(t)$ en fonction de $3$ I$ , $3$ \theta$ et de $3$ v(t)$ en fonction de $3$ V$ , $3$ \theta$ pour des angles $3$ \theta$ pas trop grands.
_________________________________________________________________________________________________________

1.a. Je trouve comme (ED) : $\fbox{3$ \frac{di}{dt}+\frac{r}{L}i=\frac{v}{L}}$ .

1.b. Je trouve $3$ Ie^{-j\phi}=\frac{V}{r+j\omega L}$ .

D'où $\fbox{3$ I=|\frac{V}{r+j\omega L}|=\frac{V}{\sqrt{r^2+(\omega L)^2}}}$ .

Et $3$ \phi=arg(r+j\omega L)$ donc $\fbox{3$ \tan\phi=\frac{\omega L}{r}}$ .

On a $3$ \tan\phi > 0$ et $3$ \cos\phi > 0$ donc $\fbox{3$ \phi \in [0,\pi/2]$ .

Conclusion : la solution du régime permanent est $\fbox{3$ i_p(t)=\frac{V\sqrt{2}}{\sqrt{r^2+(\omega L)^2}}\cos(\theta+\theta_0-\phi)}$ .

La solution du régimé libre est, quant à elle, $\fbox{3$ i(t)=I\sqrt{2}[\cos(\theta+\theta_0-\phi)-\cos(\theta_0-\phi)e^{-t/\tau}]}$ .

2.a. Le régime permanent s'établit immédiatement sans régime libre lorsque $3$ \cos(\theta_0-\phi)e^{-t/\tau}=0$ , c'est-à-dire lorsque $\fbox{3$ \theta_0-\phi=\pi/2 [\pi]}$ .

2.b. $3$ \phi \in [0,\pi/2]$ et si $3$ \omega L >> r$ alors $3$ \sin\phi=1$ .
Donc $\fbox{3$ \phi=\pi/2}$ .

Par contre JE BLOQUE ICI.... En effet, si on a $3$ \phi=\pi/2$ et $3$ \theta_0-\phi=\pi/2 [\pi]$ , alors $3$ \theta_0$ peut valoir soit $3$ \pi$ soit $3$ 2\pi$ ... D'où le problème. Comment connaître la valeur de cet angle ?

Merci d'avance ! ...

Circuit RL (tension sinusoïdale)