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Circuit RC: équation vérifiée par l'intensité.
Bonjour,
Je suis en prépa de biologie etj'ai un problème de physique avec un condensateur associé en dérivation avec un générateur de tension idéal et une résistance. On me demande de trouvée l'équation différentielle vérifiée par l'intensité dans un des noeuds. Il s'en suit d'autre questions sauf que si je ne répond pas à la première, c'est tout l'exercice qui ne peut être fait.Et je ne vois pas comment faire. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait? Voici l'énoncé:
Enoncé:[b]
On considère le circuit électrique ci-dessous dans laquelle le génerateur est un générateur de tension idéal délivrant une tension périodique [b]e(t) en forme de "crénaux" de période T, représentée avec le schéma du circuit.
1.Établissement de l'équation différentielle vérifiée par i2.
Déterminer l'équation différentielle vérifiée par i2. Elle peut se mettre sous la forme:
a
di2/dt + bi2 = e
Je ne vois pas comment déterminer a et b. Je ne connait que les équation de RL qui fasse intervenir la dérivée de i et la fonction i(t) en même temps. J'ai tenter une loi des mailles mais je n'obtient aucune dérivée de i2. Quelqu'un a-t-il une piste s'il vous plait?
2.Expression de la constante de temps.
Déterminer l'expression de la constante de temps 
qui apparaitra dans la loi horaire de i2.
Ça, je devrai pouvoir le faire, il faut déterminer l'équation de i2 avec l'exponentielle et ce qui est sous la variable t est donc la constante de temps.Je me trompe?
3.Expression de i2
Les constantes d'intégrations ne sont pas à déterminer dans ces questions.
Déterminer l'expression de i2 pour:
a) t compris entre 0 et T/2. Pour la suite on posera 
la constante d'intégration dans ce cas là.
b) t compris entre T/2 et T.Pour la suite on posera 
la constante d'intégration dans ce cas là.
4.Détermination des constantes d'intégrations.
a)Montrer que i2 est une grandeur continue au sens mathématique .
Est-ce qu'il faut étudier les variations de i2?
b)En utilisant la propriété de continuité de i2 déterminer une relation liant et.
c) En déduire que =-exp(-T/2)
d)En injectant cette expression dans une des deux équations de i2(t) déterminer les expressions de et. Justifier que soit une constante négative, alors que est positive.
Voilà l'énoncé ainsi que les schémas qui sont joints a l'exercice. Ce qui est en rouge sur le montage , c'est moi qui l'est rajouté. Merci d'avance et bonne soirée.
Bonjour camcam1213,
appelons A et B les extremites du condensatyeur, et ecrivons VA - VB trois fois :
VA - VB = e - R1.i = Uc = R2.i2.
On a sussi la loi des noeuds : i = i1 + i2, et l'expression de i1 en fonction de Uc : la charge portee par le condensateur est q = C.Uc, soit i1 = dq/dt = C.dUc/dt.
Comme Uc = R2.i2, on obtient dUc/dt = R2.di2/dt, et donc i1 = C.R2.di2/dt. OK ? On en tire i = C.R2.di2/dt +i2
On reporte alors dans la premiere relation, ce qui donne e - R1.i = e - R1.(i2 + C.R2.di2/dt) = R2.i2.
Tu rearrange tout ca et tu obtiens R1.R2.C.di2/dt + (E1 + E2).i2 = e, equation de la forme a.di2/dt + b.i2 = e.
La constante de temps du circuit est donnee par = a/b. Tu peux donc l'ecrire en fonction des composants du circuit.
Je te laisse faire le reste, ca devrait aller maintenant.
Prbebo.
Ah ok! C'est vrai que j'avais pas pensez à faire comme ça...Super merci beaucoup!
Je pense que ça ira merci.
OK. Je n'ai pas regarde en detail la fin de ton exercice, mais si tu coinces n'hesite pas a poster. B.B.
1)
e - R1.i + Uc = 0
i1 = C.dUc/dt
Uc = R2.i2
i = i1 + i2
e - R1.i - R2i2 = 0
e - R1.(i1 + i2) - R2i2 = 0
e - R1.(C.dUc/dt + i2) - R2i2 = 0
e - R1.(CR2.di2/dt + i2) - R2i2 = 0
R1R2C.di2/dt + (R1+R2).i2 = e
-----
2)
tau = R1R2C/(R1+R2)
-----
3)
a) pour t dans [0 ; T/2], on a : e = E1 (constante)
R1R2C.di2/dt + (R1+R2).i2 = E1
solutions de R1R2C.di2/dt + (R1+R2).i2 = 0 :
i2 = A.e^(-t/tau)
Solution particulière de R1R2C.di2/dt + (R1+R2).i2 = E1 :
i2 = E1/(R1+R2)
Solutions générales de R1R2C.di2/dt + (R1+R2).i2 = E1 :
i2(t) = E1/(R1+R2) + A.e^(-t/tau)
b)
pour t dans [T/2 ; T], on a : e = E2 (constante)
Solutions générales de R1R2C.di2/dt + (R1+R2).i2 = E2 :
i2(t) = E2/(R1+R2) + B.e^(-t/tau)
-----
4)
a)
La tension aux bornes d'un condensateur ne peut pas être discontinue (sinon cela exigerait un courant infini dans le condensateur).
---> Uc est une tension sans discontinuite.
Et comme I2 = Uc/R2, I2 est une intensité de courant sans discontinuité.
---
b)
Avec le point a, on peut dire que pour t = T/2, on a :
E1/(R1+R2) + A.e^(-T/(2.tau)) = E2/(R1+R2) + B.e^(-T/(2.tau)) (1)
On a aussi i2(0) = i2(T)
E1/(R1+R2) + A.e^(-0/tau) = E2/(R1+R2) + B.e^(-T/tau) (2)
(1) - (2) -->
A.e^(-T/(2.tau)) - A.e^(-0/tau) = B.e^(-T/(2.tau)) - B.e^(-T/tau)
A.e^(-T/(2.tau)) - A = B.e^(-T/(2.tau)) - B.e^(-T/tau)
A.(e^(-T/(2.tau)) - 1) = B.e^(-T/(2.tau)) . (1 - e^(-T/(2.tau)))
A = -B.e^(-T/(2.tau))
---
...
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