Voici le circuit avec les courants que j'ai posés.

Bonjour,

1- Attention à vos notations : vous notez u deux tensions différentes et I deux courants différents.
2- u n'est pas un courant mais une tension

Une fois ceci éclairci, on devrait y voir plus clair

gts2
Oui je me suis trompée u est bien une tension pardon pour l'erreur d'étourderie.
Et je n'ai pas compris votre premier point, qu'entendez-vous par I deux courants différents car j'ai bien posé différents courants. Je ne vois pas mon erreur.

Vous avez posé u=tension du condensateur vertical, et u= tension du condensateur horizontal.
Pour ce qui est de I, j'avez lu sur le dessin (à droite) I=CdU/dt mais cela a plutôt l'air d'un + que d'un = et dans ce cas, c'est correct.

gts2

Les tensions des condensateurs sont alors différentes?
Dans ce cas-là mes lois des mailles sont fausses et donnent donc:

e-R(I+Cdu2/dt)-u1-u2=0
u2-RI=0

(avec u1 la tension du condensateur horizontal et u2 celle du condensateur vertical)

Est-ce bon?

C'est bon, il reste à se débarrasser de u1.

gts2
Mais comment se débarrasser de u1? Faut-il isoler u1 dans la première équation c'est-à-dire en écrivant:
u1=e-R(I+Cdu2/dt)-u2

puis remplacer u1 dans la première équation par l'expression précédente? Car si je fais ça alors tout s'annule, donc ce n'est pas possible.

Votre méthode conduit en effet à 0=0, c'est pas faux, c'est déjà çà !

La variable "utile" étant u2, il faut exprimer u1 en fonction de u2, "exactement" comme vous vous êtes débarrassé de u_R1.
"exactement" entre guillemets, car quelle relation lit u1 et (I+Cdu2/dt) ?

gts2
Pour la relation entre u1 et (I+Cdu2/dt), si on reprend le cours:
l'intensité du courant dans un condensateur=Cdu/dt
Donc (I+Cdu2/dt)=Cdu1/dt

Puis en isolant (du1/dt ) on a:
du1/dt=(I/C)+du2/dt
du1/dt=(u2/RC)+(du2/dt) car I=u2/R

Est-ce correct?

Oui c'est correct, vous avez maintenant deux équations à deux inconnues u1 et u2, il n'y a plus qu'à éliminer u1 entre les deux.

gts2

Merci beaucoup, j'ai réussi à trouver mon équation différentielle et trouver la solution générale en posant w0=1/RC d'après l'énoncé.

Mais je ne trouve pas les conditions initiales?

On sait que à  t=0- on a e=0  et à t=0+ on a e=E
or u(0-)=u(0+)=0 ?
Car on sait que en régime permanent, le condensateur est égal à un interrupteur ouvert donc l'intensité est égale à 0.

gts2

Mais alors à quoi servent les indications dans l'énoncé si ce sont les bonnes conditions initiales? Je ne vois pas à quel moment e=0 et e=E peuvent nous servir.

Il faut suivre les pistes u1=0 et u2=0. Vous voyez bien que cela fait une CI sur u2, l'autre par contre n'est pas trivialement liée à u2. Il faut traduire u1=0 en une CI sur u2, et c'est alors que vous verrez apparaitre E.