Niveau maths sup

Cinématique du point

Posté par
Donpablo 13-10-09 à 22:41

bonsoir à tous! J'ai un exercice que je n'arrive pas à commencer, si quelqu'un aurait la gentillesse de me pointer dans la bonne direction, ce serait sympa!
Bon, voici l'énoncé en tout cas:
Un point mobile M décrit une parabole d'équation y=ax² (a>0)
On suppose que la vitesse de M suivant l'axe des x, Vx, est constante. Déterminer ma vitesse de M suivant l'axe des y, Vy, en fonction de x.
Voici comment j'ai commencé:
Alors, sachant que Vx est constante, Ax est nulle, donc l'accélération de M est Ay, soit la dérivée seconde de y=ax², donc: y=2ax.
Ça me semble trop simple pour de la prepa, qu'est ce que j'ai raté? Merci d'avance

Posté par re : Cinématique du point 13-10-09 à 22:50

oops, la dérivée seconde serait plutot y=2a

Posté par re : Cinématique du point 13-10-09 à 22:51

Bonsoir,
y = 2ax n'est pas la dérivée seconde de y = ax².
Et, quand on parle de vitesse ou d'accélération, on dérive par rapport au temps et non pas par rapport à x.
Donc je verrais plutôt :
x = v_x t puisque v_x est constante
Donc :
y = a x² = a v_x² t²
Et, là, on peut déterminer la vitesse selon l'axe des y ==> dy / dt

Posté par re : Cinématique du point 13-10-09 à 23:09

Merci!!
On trouve donc:
Vy= dy/dt=2a*(Vx)²*t, et comme t=x/(Vx), on a Vy=2a*Vx*x

Sinon pour la question suivante;
On suppose maintenant que M a une vitesse V constante. Déterminer son vecteur accélération lorsqu'il passe par le point O.
On a: $\vec{Vx}+\vec{Vy}$ =constante C'est bien comme ca qu'il faut partir?
Ensuite on exprime en fonction de t et on dérive par rapport à t pour trouver le vecteur position, et on le calcule en t=o?

Posté par re : Cinématique du point 14-10-09 à 10:20

Désolé, je n'ai pas attendu assez longtemps hier soir mais il commençait à se faire tard ... Il aurait fallu que j'attende 10 minutes de plus.
Vy=2a*Vx*x ==> OK
Pour l'autre question, ce n'est sûrement à t=0 parce que le point O, c'est x=0 et y=0, rien à voir avec t.

"M a une vitesse V constante" ==> ça veut dire que   $\vec{v}\,=\,\vec{v_x}\,+\,\vec{v_y}\,=\,\vec{C}$   ou que   $||\vec{v}||\,=\,constante$ ?
$\vec{v}\,=\,\vec{v_x}\,+\,\vec{v_y}\,=\,\vec{C}$   signifie que   $\vec{v}$   a une norme, une direction et un sens constants, ce qui est très restrictif. Cela veut dire que $v_x\,=\,constante$   et   $v_x\,=\,constante$    (pas la même constante). Ceci veut aussi que le vecteur accélération est nul, ce qui ne doit pas être la bonne solution ...
$||\vec{v}||\,=\,constante$ ==> On peut écrire   $v_x^2\,+\,v_y^2\,=\,V_0^2$ .
Le vecteur accélération a pour coordonnées   $\frac{dv_x}{dt}$   et   $\frac{dv_y}{dt}$ et il faut les trouver en x = 0 et y = 0.
On a aussi : y = a x².
Donc : $\frac{dy}{dt}\,=\,2ax\,\frac{dx}{dt}$
$v_x^2\,+\,v_y^2\,=\,V_0^2$ ==> $\big(\frac{dx}{dt}\big)^2\,+\,\big(\frac{dy}{dt}\big)^2\,=\,V_0^2$
D'où :
$\big(\frac{dx}{dt}\big)^2\,+\,4a^2x^2\,\big(\frac{dx}{dt}\big)^2\,=\,V_0^2$
$\big(\frac{dx}{dt}\big)^2\,=\,\frac{V_0^2}{1+4a^2x^2}$
$\frac{dx}{dt}\,=\,\frac{V_0}{sqrt{1+4a^2x^2}}$
Et :
$\big(\frac{dy}{dt}\big)^2\,=\,V_0^2\,-\,\big(\frac{dx}{dt}\big)^2\,=\,V_0^2\,-\,\frac{V_0^2}{1+4a^2x^2}\,=\,V_0^2\,\frac{4a^2x^2}{1+4a^2x^2}$
$\frac{dy}{dt}\,=\,V_0\,\frac{2ax}{sqrt{1+4a^2x^2}}$
Donc il ne reste plus qu'à dériver pour trouver l'accélération :

$\frac{d^2x}{dt^2}\,=\,-\frac{V_0}{2}\,\frac{8a^2x}{sqrt{(1+4a^2x^2)^3}}$
$\frac{d^2y}{dt^2}\,=\,V_0\,\frac{2a\,-\,8a^3x^2}{sqrt{(1+4a^2x^2)^3}}$

Donc, en x=0 (==> y=0 puisque y=ax²) :
$\frac{d^2x}{dt^2}\,=\,0$
$\frac{d^2y}{dt^2}\,=\,2aV_0$

En passant, on peut voir que   $\frac{dy}{dt}\,=\,2ax\,\frac{dx}{dt}$ avec $\frac{dx}{dt}\,=\,v_x$   ==>   $\frac{dy}{dt}\,=\,v_y\,=\,2ax\,v_x$   , autre façon de résoudre la 1ère question...

sauf erreur éventuelle...

Si l'exo était pour aujourd'hui, c'est trop tard ...

Posté par re : Cinématique du point 14-10-09 à 20:38

Oui, erreur effectivement...
$\frac{d^2x}{dt^2}\,=\,-\,V_0^2\,\frac{4a^2x}{(1+4a^2x^2)^2}$
$\frac{d^2y}{dt^2}\,=\,V_0^2\,\frac{2a\,-\,8a^3x^2}{(1+4a^2x^2)^2}$
Maintenant, c'est homogène...
Et, en x = 0 (donc y = 0 puisque y = ax²) :
$\frac{d^2x}{dt^2}\,=\,0$
$\frac{d^2y}{dt^2}\,=\,2aV_0^2$

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