Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Cinématique Du Point
Bonsoir à tous,
Je me trouve à faire une exercice qui me bloque. A ce qu'il paraît, c'est un exercice qu'on trouve partout. Voici l'énoncé :
Trois chats se trouvent initialement aux sommets d'un triangle équilatéral. Ils se poursuivent les uns les autres : le premier court après le second qui poursuit le troisième, lui même courant après le premier. Leur vitesse est la même et reste constante au cours de la poursuite.
1. Déterminer la durée de la poursuite.
2. En déduire la distance parcourue par chacun des chats.
3. Déterminer l'équation de la trajectoire d'un des chats en coordonnées polaires.
Voilà. Je ne sais pas d'où partir. Merci d'avance à ceux qui m'aideront 
Pas le courage de me lancer dans le calcul.
Alors je l'ai laisser faire par Excel.
Cela a donné ceci comme trajectoire des minous (voir dessin) :
La distance parcourue par 1 chat est environ 0,65 fois la longueur d'un coté du triangle.
Merci pour ton information mais je dois le montrer par le calcul et je ne vois pas comment faire. Donc si quelqu'un pouvait m'indiquer la voix à suivre, je veux bien
Merci d'avance 
Si tu sais comment partir ce n'est pas très compliqué, j'ai fait le même avec des mouches aux sommets d'un carré.
Le problème est invariant par rotation d'angle , et il le reste au cours du problème. Notamment le triangle formé par les chats reste équilatéral et centré au même point. Il faut travailler en coordonnées polaires. Le triangle te donne la direction de leur vitesse, et tu connais la norme de celle-ci ... Les calculs sont assez faciles.
Justement, c'est que je ne sais pas comment partir :s
Je pense pouvoir me débrouiller si j'ai le début.
Il suffit d'utiliser les coordonnées polaires : la vitesse est celle que je viens de te donner. Il faut la mettre en relation avec la vitesse en coordonnées polaires :
.
Et tu résouds ces équations pour avoir et
en fonction du temps. La suite est "facile", mais si tu as des problèmes, n'hésite pas.
J'essaie.
On trouve en identifiant les 2 équations données par Pimousse31 :
dr/dt = -(V3 /2).v
r(t) = -(V3 /2).v.t + K
Avec L la longueur d'un coté du triangle :
r(0) = L.(V3 /2) * 2/3 = L/V3
--> r(t) = L/V3 - (V3 /2).v.t
Le chat à fini sa course pour r = 0 --> en t = (2/3).L/v
La ditance parcourue par 1 chat est donc d = vt = (2/3).L
On trouve en identifiant les 2 équations données par Pimousse31 :
r . d theta/dt = v/2
d theta/dt = v/(2r) = v/(2L/V3 - V3.v.t)
d theta = [v/(2L/V3 - V3.v.t)] dt
theta = -(1/V3) * ln|(2L/V3 - V3.v.t)| + K'
En t = 0, theta = Pi/2 (le chat du haut du triangle).
--> Pi/2 = -(1/V3) * ln(2L/V3) + K'
K' = Pi/2 + (1/V3) * ln(2L/V3)
theta(t) = Pi/2 + (1/V3) * ln(2L/V3) - (1/V3) * ln|(2L/V3 - V3.v.t)|
-----
On a donc:
r(t) = L/V3 - (V3 /2).v.t
theta(t) = Pi/2 + (1/V3) * ln(2L/V3) - (1/V3) * ln|(2L/V3 - V3.v.t)|
Cela donne ce graphe :
-----
Cela colle avec les résultats trouvés par Excel, sauf que les chats on chacun poursuivit un chat différent que dans celui choisi dans le programme Excel et donc on obtient une trajectoire symétrique par rapport à la droite passant par le sommet dont le chat part et le centre de gravité du triangle. (mais c'est évidemment équivalent).
Excel donnait trajet = environ 0,65 L et le calcul donne trajet = (2/3) L, ce qui colle à la précision près des calculs Excel.
-----
Sauf distraction, ou erreur, Vérifie.
Annuler
connectez vous