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Cinématique du fluide

Posté par
Nerf 16-07-23 à 17:50

Bonjour, j'ai un problème pour déterminer le potentiel de vitesse $\phi$ sur cet exercice.

On considère un écoulement bidimensionnel (O,x,y) dans lequel on place un objet sphérique. La trace de cet objet dans le plan (x,y) est le cercle de centre O et de rayon R. Loin de l'obstacle, la vitesse du fluide est uniforme $\vec {u}=U \vec {{e_x}}$ . On se place en régime stationnaire. Le fluide est incompressible et l'écoulement irrotationnel. Déterminer l'expression du potentiel de vitesse en coordonnées polaires.
Mon raisonnement :
On a $\vec {u}$ = $\vec {grad} \phi$ .
Loin de l'obstacle, $\phi$ $=$ U.x=U.r. $cos\theta$ .

Lorsque r=R, la vitesse radiale est nulle. Donc $\partial _r {\phi}(R,\theta)=0$ . Je n'arrive pas à continuer.

Le résultat du corrigé est $\phi=U(r+\frac{R^2}{r})cos(\theta)$

Posté par re : Cinématique du fluide 16-07-23 à 21:15

Bonjour
Il existe plusieurs niveaux d'exigence à ce sujet.La méthode la plus générale consistant à étudier les solution de l'équation différentielles correspondant à un laplacien nul est assez longue et délicate. Une méthode plus simple consiste à partir de potentiels connus en électrostatique et à montrer qu'elles conviennent ici. Voir par exemple ce document, paragraphe II.4 pages 26 et suivantes :

Méthode plus générale : exemple 7, pages 28 et suivantes :

Posté par re : Cinématique du fluide 17-07-23 à 09:12

D'accord

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