bonjour
On considère une aile d'avion, modélisée par un cylindre infini de rayon R et d'axe Oz,
en mouvement rectiligne uniforme dans le référentiel terrestre à la vitesse −→ v = v0 ~ux.
On pourra considérer que l'air est au repos loin de l'aile. On se place dans le référentiel
à l'avion et on suppose l'écoulement autour de l'aile incompressible et irrotationnel.
On utilisera les coordonnées polaires (r, θ) d'axe (Oz) où θ est défini à partir de (O~ux).
. Montrer le champ des vitesses dérive d'un potentiel φ.
2/À quelle équation satisfait φ ? On suppose que l'on peut écrire le potentiel φ comme le produit d'une
fonction de r et d'une fonction de θ. Déterminer l'expressions générale des fonctions f et g dans le
cas d'un potentiel invariant par rotation autour de l'aile
Ma question concernant cet exercice c'est sur la 2 eme question j' ai repondu mais la solution de l'EQUATION je ne le compris pas parceque dans la coorection

On ne s'intéressera donc pas au cas m = 0.
Cherchons alors les solutions de l'équation (2) sous la forme d'une puissance de r
r2
f′′
(r) + r f′
(r) − m2
f(r) = 0 avec f(r) = rα
soit
α(α − 1)rα + αrα − m2
rα = 0
Sn simplifiant par rα, on obtient une condition sur α
α2
− m2
= 0 soit α = ±m
Les solutions pour φ sont donc de la forme
φ(r, θ) =
+∞ X
m=−∞
rm [Am cos(mθ) + Bm sin(mθ)]
Le problème étant symétrique par rapport au plan médiateur de l'aile y = 0, le potentiel des vitesses
est invariant par changement de θ en −θ. On en déduit que
Bm = 0 ∀m
À l'infini, l'écoulement n'est pas perturbé et
v(r → ∞) = −U ~ux = −−→ grad(−Ux) soit φ(r → ∞) = −U x = −U r cos θ
Par identification avec le développement en série précédent, on obtient, en négligeant les termes en rm
avec m < 0, on obtient
−Ur cos θ =
+∞ X
m=0
rm Am cos(mθ)
Ainsi, seul A1 est non nul
A1 = −U et Am = 0 ∀m ≥ 0 et m 6= 1
Au niveau de l'aile,
vr(r = R, θ) = 0 = ∂φ
∂r
(r = R, θ) = −U cos θ +
0 X
m=−∞
m