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Cinématique dans un référentiel
Bonjour,
Je ne sais absolument pas comment débuter l'exercice suivant. Pourriez vous m'orienter un peu s'il vous plaît ?
Un point M se déplace dans un repère R(0, x,y,z) le long d'une courbe d'équation paramétrique:
x(t)=0.3 cos (
t)
y(t)=0.3 sin (t)
z(t)=0.1 t
avec =2
rad/s
L'unité de longueur considérée dans cet exercice est le centimètre
1) Exprimer les composantes du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point M
2) En déduire la norme de ces vecteurs
3) Exprimer le vecteur vitesse et le vecteur accélération en coordonnées intrinsèques. En déduire le rayon de courbure de la trajectoire.
Je sais que dans le cadre d'une équation cartésienne, l'équation horaire des vitesses et la dérivé par rapport au temps de la fonction position et l'accélération est la dérivée seconde de la fonction position. Mais là je ne sais pas trop comment m'y prendre.
Merci
1)
dx/dt = -0,3.w.sin(wt)
dy/dt = 0,3.w.cos(wt)
dz/dt = 0,1.w
ce sont les 3 composantes (suivant les axes du repère) du vecteur vitesse.
2)
|dx/dt| = 0,3.w
|dy/dt| = 0,3.w
|dz/dt| = 0,1.w
...
Sauf distraction. 
Par contre, en regardant mieux, j'ai un soucis sur l'accélération.
Les composantes du vecteur vitesse correspondent bien aux dérivés des composantes de l'équation paramétrique correspondant aux positions.
Par contre pour l'accélération, ça ne devrait pas être la dérivé des composantes des vecteurs vitesse ?
Et donc
dx/dt= - 0,3..cos(t)
dy/dt= - 0.3..sin(t)
dz/dt= 0
Je n'ai pas calculé les accélérations.
J'ai juste calculé les composantes du vecteur vitesse et leurs normes.
Pour les accélérations,
d²x/dt² = -0,3.w².cos(wt)
d²y/dt² = ...
d²z/dt² = ...
Ah super, merci beaucoup !! Je n'avais pas compris.
Pour le vecteur vitesse, j'ai calculé la norme avec les trois composantes et non pas une norme par composante, c'est bien ça ? Ce qui fait que je trouve
||v||==
Mince, je n'ai pas vérifié l'aperçu avant de poster.
Pour les normes je trouve :
||v||= 
2/5
et
||a||= 6²/5 (||a||=0,3w²)
v² = vx² + vy² + vz²
v² = (-0,3.w.sin(wt))² + (0,3.w.cos(wt))² + (0,1.w)²
v² = (0,3.w)².(sin²(wt) + cos²(wt)) + (0,1.w)²
v² = (0,3.w)² + (0,1.w)² = w²
||v|| = w = 2Pi (en cm/s)
Sauf distraction.
Zut, je corrige :
...
² = (0,3.w)² + (0,1.w)² = 0,1 w²
||v|| = w = RCarrée(0,1) * 2Pi (en cm/s)
Saut redistraction.
Oui, c'est le même résultat ! Merci beaucoup !
Pour la suite je ne sais pas ce que je dois faire pour exprimer ces vecteurs en coordonnées intrinsèques... Je suis désolée de poser autant de question mais ce n'est pas évident de reprendre des études par correspondances après plus de 10 ans !!
Pour la suite je ne sais pas ce que je dois faire pour exprimer ces vecteurs en coordonnées intrinsèques.
Je pense que ce qui est attendu (pour le vecteur vitesse par exemple) est :
vect(v) = -0,3.w.sin(wt) . vect(i) + 0,3.w.cos(wt) . vect(j) + 0,1.w . vect(k)
avec :
vect(i) un vecteur unitaire de l'axe (Ox)
vect(j) un vecteur unitaire de l'axe (Oy)
vect(k) un vecteur unitaire de l'axe(Oz)
Bonjour J-P, bonjour Sooofye
Si je peux me permettre ...
le vecteur vitesse et le vecteur accélération en coordonnées intrinsèques
Je crois que la coordonnée intrinsèque fait référence à l'abscisse curviligne, et qu'il est donc demandé d'exprimer vitesse et accélération dans la base de Frenet du mobile.
(il serait d'ailleurs intéressant de calculer l'abscisse curviligne le long de cette hélice, mais la question n'est pas posée ...)
Salut dirac,
Je crois que la coordonnée intrinsèque fait référence à l'abscisse curviligne
C'est très possible.
Plusieurs sites sur le net comprennent "coordonnées intrinsèques" comme tu le dis.
... et plusieurs autres comme je l'ai fait.
Ceci n'a rien d'étonnant.
Personnellement je n'emploie jamais ce vocable de "coordonnées intrinsèques" ... et google ne renvoie qu'à 1260 résultats en lui entrant "coordonnées intrinsèques", ce qui est bien peu (si l'usage en était généralisé), par contre plus de 18000 résultats pour "abscisse curviligne", c'est déjà beaucoup mieux.
Je pense quand même que c'est ce que tu proposes qui est attendu par le prof...
Du coup, ce qui est attendu, c'est d'exprimer R (rayon de courbure) en fonction de l'accélération et la vitesse ?
J'ai R=||v||³/||v
a|| C'est bien ça ?
J'obtiens R= 10/|3cos(wt)-3sin(wt)-9)| Cela semble cohérent ?
Merci encore...
Re,
Trouver un rayon de courbure fonction du temps devrait allumer certains voyants en rouge ... 
Puisque l'on fait de la physique et pas seulement des maths, on aura constaté (?) que la trajectoire est une hélice de rayon = 0,2 et de pas réduit = 0,1
Donc on doit s'attendre à un rayon de de courbure constant.
Je crois que l'on a vu qlq part que la vitesse était constante, donc l'accélération tangentielle (dans le repère intrinsèque 
) est nulle. L'accélération qui à déjà été calculée a pour seule composante non nulle la composante normale qui qui v2/R (où R est le rayon de courbure pour reprendre tes notations)
Donc R devrait tomber assez rapidement il me semble
Donc pour exprimer le vecteur vitesse et le vecteur accélération en coordonnées intrinsèque je peux dire que la vitesse étant constante, l'accélération tangentielle est nulle. Et qu'on a comme relation a= v²/R => R= (2/5)²/(6²/5) ?
euh
Il me semble que l'on avait
v2 = 0,1.w2
a = 0,3.w2
Ce qui amène R = 1/3 . Donc je crois que nous sommes d'accord. D'accord?
Parfait.
Tu constates que le rayon de courbure de la trajectoire helicoïdale vaut 0,33, ce qui est (constant et) supérieur au rayon de l'hélice qui lui valait 0,3. Tu es rassuré car c'est un résultat auquel on pouvait s'attendre: plus le pas de l'hélice est petit, plus le rayon de courbure ce rapproche du rayon de l'hélice, plus le pas est important plus le rayon de courbure augmente en s'éloignant de cette valeur (il existe d'ailleurs une "formule" qui lie les 3, mais je crois que l'on peut vivre sans ...)
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