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Cinématique dans l espace

Posté par
INEWSAKTON
15-05-19 à 22:33

Bonjour,

Besoin d une explication sur le resultat pour le calcul d alpha 3/0.

Enonce (schéma en pj) :

Une antenne parabolique (3) est entraîne en rotation (axe A,U) par un moteur (2). Le moteur est lui aussi animé d un mouvement de rotation (axe A,y) par rapport à la tourelle (1).
L ensemble peut pivoter autour de l axe (O,z).

-> W3/2 : 3 RAD.s-1  et Alpha 3/2 : 4 rad.s-2
-> W 2/1 : 2 RAD s-1 et Alpha 2/1 : 0
-> W 1/0 : 6 RAD s-1 et Alpha 1/0 : 5 RAD.s-1

Déterminer W3/0 et alpha 3/0.

En utilisant la formule :

Alpha 3/0 = alpha 3/2+ alpha 2/1 + alpha 1/0 + w1/0 ^ w3/1

Je trouve le résultat suivant :
-8.53 i + 15.6 j+ 7 k rad.s-2

Le résultat donne dans l exo est :
-5.54 i + 15.6 j + 1.8 k rad.s-2

Je ne trouve pas d ou proviens l erreur.

Merci d avance

Cinématique dans l espace

Posté par
neajD
re : Cinématique dans l espace 16-05-19 à 00:34

Bonsoir,

... et juste par curiosité, 'alpha' c'est quoi ?

Posté par
vanoise
re : Cinématique dans l espace 16-05-19 à 15:49

Bonjour
Si on se fie aux unités utilisées (à une étourderie près), les différents "alpha" désignent les accélérations angulaires.
La figure fournie est tronquée : l'axe (OZ) est bien l'axe vertical colinéaire au vecteur \overrightarrow{\omega_{1/0}} ?

Posté par
INEWSAKTON
re : Cinématique dans l espace 16-05-19 à 19:25

Bonjour
Oui au deux suppositions Vanoise. Ce sont bien des accelerations angulaire. W1/0 est colineaire a O ,Z de même que  W2/1 l est avec l axe A, Y.

Posté par
vanoise
re : Cinématique dans l espace 16-05-19 à 19:35

Bonsoir INEWSAKTON
Sous réserve d'avoir bien interprété l'énoncé, je crois avoir trouvé ton erreur.
La formule de cours que tu utilises pour \overrightarrow{\alpha_{3/0}}=\frac{\overrightarrow{d\left(\omega_{3/0}\right)}}{dt} conduit bien à TON résultat. Problème : elle tient bien compte des variations en fonction du temps des vecteurs unitaires, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{i} et \overrightarrow{j} mais elle ne tient pas compte des variations en fonction du temps de l'angle \beta=\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{u}\right) ; cet angle varie au cours du temps et ne vaut 30° qu'à la date où s'effectue le calcul. On arrive aux résultats de ton corrigé en exprimant \overrightarrow{\omega_{3/0}} dans la base \left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right) en fonction de \omega_{3/2} , \omega_{2/1} ,\omega_{1/0}, \sin\left(\alpha\right), \cos\left(\alpha\right) puis de dériver par rapport au temps, sachant que la valeur de \frac{d\alpha}{dt} est fournie par l'énoncé.

Posté par
vanoise
re : Cinématique dans l espace 16-05-19 à 19:44

PS : ne mets pas ton calcul "à la poubelle" : par rapport à ce calcul, il suffit d'ajouter deux termes complémentaires très simples...

Posté par
vanoise
re : Cinématique dans l espace 16-05-19 à 19:48

Lire dans la dernière phrase de mon message de 19h35 :
sachant que la valeur de \frac{d\beta}{dt} est fournie par l'énoncé.
Désolé pour l'étourderie !

Posté par
INEWSAKTON
re : Cinématique dans l espace 16-05-19 à 21:32

J ai beau chercher je ne tombe pas sur le bon résultat. Peux tu me montrer les détails de tes calculs.

Posté par
neajD
re : Cinématique dans l espace 16-05-19 à 21:46

Bonsoir,
... merci à vanoise pour les éclaircissements sur alpha entre autres.

En fait, dans ce genre de problème il faut appliquer la formule de dérivation de manière systématique (càd sans réfléchir , car c'est la meilleure manière de se planter ).

Alors je tente le coup ! Il faut dériver le vecteur vitesse angulaire \vec{\varpi_{30}} par rapport au temps, dans le repère 0. Soit :

\left( \vec{\varpi_{30}}\right)'_{0} =  \left( \vec{\varpi_{32}}\right)'_{0} + \left( \vec{\varpi_{21}}\right)'_{0} + \left( \vec{\varpi_{10}}\right)'_{0}

Ensuite reprendre chaque terme de la somme en appliquant la formule de dérivation des vecteurs en repère mobile :

\left( \vec{\varpi_{32}}\right)'_{0} =  \left( \vec{\varpi_{32}}\right)'_{2} + \vec{\varpi_{20}}  \wedge \vec{\varpi_{32}}

\left( \vec{\varpi_{21}}\right)'_{0} =  \left( \vec{\varpi_{21}}\right)'_{1} + \vec{\varpi_{10}}  \wedge \vec{\varpi_{21}}

\left( \vec{\varpi_{10}}\right)'_{0} =  \alpha_{10}

Voilà (sauf erreur !), c'était juste pour ajouter mon grain de sel

Posté par
vanoise
re : Cinématique dans l espace 16-05-19 à 23:20

Je détaille le calcul en essayant de coller au plus près du tien pour tenir compte de ce que tu as fait de bien tout en mettant ton erreur en évidence.

\overrightarrow{\omega_{3/0}}=\omega_{3/2}\cdot\overrightarrow{u}+\omega_{2/1}\cdot\overrightarrow{j}+\omega_{1/0}\cdot\overrightarrow{k}=\omega_{3/2}\cdot\left[\cos\left(\beta\right).\overrightarrow{i}+\sin\left(\beta\right).\overrightarrow{k}\right]+\omega_{2/1}\cdot\overrightarrow{j}+\omega_{1/0}\cdot\overrightarrow{k}

soit :

\overrightarrow{\omega_{3/0}}=\omega_{3/2}\cdot\cos\left(\beta\right).\overrightarrow{i}+\omega_{2/1}\cdot\overrightarrow{j}+\left[\omega_{3/2}\cdot\sin\left(\beta\right)+\omega_{1/0}\right]\cdot\overrightarrow{k}

La dérivée par rapport au temps peut s'écrire comme une somme de trois sommes :

Première somme : elle s'obtient en dérivant par rapport au temps les vitesses angulaires :

S_{1}=\alpha_{3/2}\cdot\cos\left(\beta\right).\overrightarrow{i}+\alpha_{2/1}\cdot\overrightarrow{j}+\left[\alpha_{3/2}\cdot\sin\left(\beta\right)+\alpha_{1/0}\right]\cdot\overrightarrow{k}

Deuxième somme : elle s'obtient en dérivant les vecteurs unitaires :

S_{2}=\omega_{3/2}\cdot\cos\left(\beta\right).\overrightarrow{\frac{di}{dt}}+\omega_{2/1}\cdot\frac{d\overrightarrow{j}}{dt}

Sachant que : \overrightarrow{\frac{di}{dt}}=\overrightarrow{\omega_{1/2}}\wedge\overrightarrow{i}\quad;\quad\overrightarrow{\frac{dj}{dt}}=\overrightarrow{\omega_{1/2}}\wedge\overrightarrow{j} , je te laisse vérifier :

S_{2}=\overrightarrow{\omega_{1/2}}\wedge\overrightarrow{\omega_{3/1}}

Ton calcul concerne la somme S1+S2 : il te manque un troisième terme qui prends en compte les variations de \beta en fonction du temps.

S_{3}=\omega_{3/2}\cdot\frac{d\left[\cos\left(\beta\right)\right]}{dt}.\overrightarrow{i}+\omega_{3/2}\cdot\frac{d\left[\sin\left(\beta\right)\right]}{dt}.\overrightarrow{k}

S_{3}=-\omega_{3/2}\cdot\frac{d\beta}{dt}\cdot\sin\left(\beta\right).\overrightarrow{i}+\omega_{3/2}\cdot\frac{d\beta}{dt}\cdot\cos\left(\beta\right).\overrightarrow{k}

Il te suffit donc d'ajouter à ton résultat le terme S3. Attention, il y a un piège au niveau des signes : une valeur positive de \omega_{2/1} correspond à une diminution de l'angle \beta :

\frac{d\beta}{dt}=-\omega_{2/1}

Je te laisse vérifier... Une étourderie avec l'éditeur d'équations est vite arrivée. A priori, on obtient le résultat de ton corrigé.

Posté par
INEWSAKTON
re : Cinématique dans l espace 17-05-19 à 18:13

Merci à vous deux pour votre aide. En reprenant l exo j ai compris d ou provenait mon erreur tout est bon!

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