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cinematique
salut
svp aidez moi je bloque sur cette exercice depuis des jours voila on me dit qu'une particule M se deplace sur une droite x'ox de vecteur unitaire i .A partir de l'instant 0 (x=0) avec une vitesse v0=20m/s on soumet la particule a une acceleration negative proportionnelle a la puissance n ieme de la vitesse a chaque instant a =-kv^n i ou (ketn) sont des constantes positives
1-ecrire en fonction de v0 et k les expressions de la vitesse v(t) de l'abscisse x(t) et de v(x) la vitesse en fonction de la position ps; on traitera les question 1 et 2 pour les valeurs n=1.2et3
2-a quelle vitesse et a quel instant la particule passera t elle a 150m de o si le module de l'acceleration a t=0 vaut 2m/s^2
3-une particule M se deplace maintenant sur la droite x'ox avec une acceleration a(vecteur)=-kx^ni a linstant t=0 elle est au repos a l'abscisse x0 determiner la loi v(x) dans les cas n=1;2et 4)
voila l'exercice merci 
1)
dv/dt = -k.v^n (suivant l'axe 0'0x)
dv/v^n = -k dt
Si n = 1
dv/v = -k dt
On intègre :
ln|v| = -k.t + C1
v = C.e^(-k.t)
et avec V(0) = Vo
v = Vo.e^(-k.t)
v(t) = 20.e^(-k.t)
dx/dt = 20.e^(-k.t)
dx = 20.e^(-k.t) dt
On intègre :
x = -(20/k).e^(-k.t) + C2
et avec x(0) = 0 --> 0 = -(20/k) + C2, C2 = (20/k)
x(t) = (20/k).(1 - e^(-k.t))
----
Si n > 1 dans N
dv/dt = -k.v^n
dv/v^n = -k dt
v^(-n) dv = -k dt
On intègre :
v^(1-n)/(1-n) = -k.t + C
Vo^(1-n)/(1-n) = -k*0 + C
C = Vo^(1-n)/(1-n)
v^(1-n)/(1-n) = -k.t + Vo^(1-n)/(1-n)
Pour n = 2:
- v^-1 = -k.t - Vo^(-1)
1/v = 1/vo + k.t
v(t) = vo/(1 + k.Vo.t)
dx/dt = vo/(1 + k.Vo.t)
x = Vo/(k.Vo).ln|1+k.Vo.t| + C3
x = (1/k).ln|1+k.Vo.t| + C3
x(0) = 0 --> c3 = 0
x(t) = (1/k).ln|1+k.Vo.t|
---
Pour n = 3
v^(1-n)/(1-n) = -k.t + Vo^(1-n)/(1-n)
v^(-2)/(-2) = -k.t + vo^(-2)/(-2)
1/v² = -k.t + 1/Vo²
v² = 1/(1/Vo² - kt)
v² = Vo²/(1 - Vo².k.t)
v = Vo/RC(1 - Vo².k.t)
dx/dt = Vo/RC(1 - Vo².k.t)
x = 2.Vo.RC(1 - Vo².k.t) / (-Vo².k) + C4
x = - 2.RC(1 - Vo².k.t) / (k.Vo) + C4
x(0) = 0 --> 0 = -2/(k.Vo) + C4
C4 = 2/(k.Vo)
x(t) = 2/(k.Vo) * (1 - RC(1 - Vo².k.t))
-----
2)
avec n = 1:
|a| = 2 (en t = 0)
et comme Vo = 20 --> |-k.20^1| = 2
|-k| = 1/10
et comme k > 0 ---> k = 1/10
x(t) = 150 (m)
(20/0,1).(1 - e^(-0,1.t)) = 150
t = 13,863 s
v(13,863) = 20.e^(-0,1*13,863) = 80 m/s
avec n = 2
...
avec n = 3
...
-----
3)
d²x/dt = -k.x^n
...
-----
Aucun calcul vérifié.
j'ai pas trop compris pour la 3eme question merci
J'ai juste traduit la partie d'énoncé : a(vecteur)=-kx^n . vecteur(i)
a = dv/dt , mais aussi a = d²x/dt²
Et comme ici, l'énoncé donne a en fonction de x, on peut écrire l'équation différentielle :
d²x/dt² = -k.x^n
Il reste à résoudre cette équation ... pour trouver l'expression de x(t)
Et en dérivant x(t), on aura l'expression de v(t)
Ensuite, en éliminant t entre les expressions trouvées pour v(t) et x(t), on devrait pouvoir en déduire v en fonction de x.
Ou bien partir ainsi :
dv/dt = -k.x^n
dv/dx * dx/dt = - k.x^n
dv/dx * v = - k.x^n
v dv = -k.x^n dx
On intègre ... et on trouve v(t) = ...
La dernière ligne de mon message précédent doit être remplacée par : "On intègre ... et on trouve v(x) = ..."
Suite ...
v²/2 = -k.x^(n+1)/(n+1) + C
Et v = 0 en x = xo -->
0 = -k.xo^(n+1)/(n+1) + C
C = k.xo^(n+1)/(n+1)
v²/2 = -k.x^(n+1)/(n+1) + k.xo^(n+1)/(n+1)
v² = 2k/(n+1) * (xo^(n+1) - x^(n+1))
v = RC[2k/(n+1) * (xo^(n+1) - x^(n+1))]
Si n = 1 :
v(x) = RC[k * (xo² - x²)]
Si n = 2 :
v(x) = RC[2k/3 * (xo³ - x³)]
Si n = 4
v(x) = RC[2k/5 * (xo^5 - x^5)]
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