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Chute d'un arbre et solide déformable
Bonjour.
Voilà quelques heures (!) que je bloque sur un exercice de physique dont voici le sujet.
On se propose de vérifier la loi d'échelle hauteur/rayon des arbres (principe : sur une échelle logarithmique, placer en abscisse le diamètre d des arbres connus et en ordonnée, leur hauteur L, revient à observer une droite de pente 2/3, ce qui traduit que L est propositionnel à d2/3).
PARTIE 1
On décrit un solide élastique soumis à une force de traction parallèle selon une axe (Oz) par un ensemble de chaînes d'atomes parallèles à cet axe et distantes de a entre elles.
Chaque chaîne est constituée d'atomes reliés par des ressorts de longueur à vide a et de constante de raideur K. Sans sollicitation extérieure, les ressorts ne sont pas tendus.
On s'intéresse à un élément de volume L.dx.dy (L est sa longueur au repos, dx, dy >>a).
En présence d'une force de traction il s'allonge de dL et cet allongement se réparti uniformément sur tous les ressorts de chaque chaîne.
1) Justifier que l'énergie potentielle élémentaire dEp de l'élément de volume vaut : .
2) En déduire la loi de Hooke : (Y est le module d'Young).
3) Évaluer l'ordre de grandeur de Y en supposant que 1/2*K*a2 est de l'ordre d'une énergie de liaison, i.e. 1 eV.
PARTIE 2
On modélise ici un arbre par un cylindre de longueur L, de section carrée de côté d selon et
.
Lorsqu'il se penche d'un angle 
par rapport à la verticale dans le plan (xOz) tout se passe comme si l'élément de volume L.dx.dy s'allongeait algébriquement de x (l'origine étant prise au centre de l'arbre).
4) Montrer que l'énergie potentielle totale est de la forme : où
est une constante sans dimension à déterminer.
5) En supposant que le déplacement du centre d'inertie G lorsque l'arbre se penche de est le même que si l'arbre était un solide indéformable en rotation autour de (Oy) donner l'énergie potentielle de pesanteur Epp en fonction de la masse volumique 
, de d, L, g et de l'angle (supposé petit).
6) Déterminer alors, avec la condition de stabilité =0 la loi d'échelle exposée en introduction.
---------------
1) Je connais la loi : où
l2
est l'allongement d'un ressort.
Je serais tentée simplement par remplacer par dL2 mais je ne sais pas d'où sortent les autres termes...
2) J'ai réussi à partir de la formule fournie. En particulier, je trouve Y=K/(2a).
3) OK, c'est une application numérique (juste à convertir les eV en joules).
4) J'ai intégré dEp donné dans la question 1) en remplaçant dL par x (trigonométrie) et j'obtiens : : ai-je la bonne valeur pour
?
5) Je crois que je me complique la vie lorsque j'essaie d'obtenir l'évolution de au cours du mouvement.
J'expose quand même ma démarche.
J'applique le théorème du moment cinétique : (tout au point G par rapport à (Oy)).
J'ai calculé J, le moment d'inertie du cylindre : (qui est bien homogène !).
Puis j'arrive à : (
=sin() pour les petits angles).
Puis je résous l'équation avec un angle 0 initial, et j'arrive à :
Et enfin : cos()=zG/OG=2zG/L
Puis Epp=mgzG mais ça dépend de fait du temps et je ne sais pas si ça va...
6) Je ne vois pas comment faire, je pense que je me suis trompée précédemment.
---------
Un grand merci par avance pour vos réponse 
Bonjour
Il faut commencer par démontrer que l'élément de longueur L et de section droite d'aire dx. dy est équivalent à (dx. dy /a2 lignes de (L/a) ressorts élémentaires en série.
Ainsi, lorsque la longueur de cet élément augmente de dL, chaque ressort élémentaire subit un allongement (a. dL /L)...
Essaie de réfléchir à cela pour commencer.
D'accord, c'est ce que j'avais fait déjà fait avant. Merci quand même, tu coup, ça confirme ma réponse.
As-tu une idée pour la question 4) ? À vrai dire, après avoir tout repris, c'est la seule sur laquelle j'ai vraiment des doutes (surtout le 1/48).
Peux-tu me dire si c'est bon ?
En fait, j'ai un doute concernant ton expression du module de Young. Le long d'une rangée de ressorts élémentaires, la tension se conserve et vaut : où da est l'allongement élémentaire d'un ressort. Les allongements s'ajoutent le long d'une ligne de (L/a) ressorts ; l'allongement total vérifie :
Les forces exercées par les rangées de ressorts s'ajoutent. La résultante des forces exercées par tous les ressorts de l'élément a pour expression :
Je te laisse algébriser... Cela conduit à un module de Young :
Pour la question 4 :
Pour la question 5, tu te compliques effectivement fortement la vie ! Compte tenu de la vitesse à laquelle les arbres prennent de l'inclinaison, un raisonnement quasi statique est totalement valide ! Le théorème du moment cinétique est inutile. Lorsque l'arbre s'incline de l'angle \alpha, l'altitude de son centre de gravité passe de (L/2) à . Son énergie potentielle subit alors une variation négative :
En remplaçant la masse par le produit de la masse volumique par le volume et en considérant que l'inclinaison se fait à énergie potentielle constante dans la mesure où l'énergie potentielle reste constamment quasiment nulle :
dans la mesure où l'énergie potentielle reste constamment quasiment nulle
Tu aurais sûrement rectifié par toi-même ma dernière phrase : Il y a bien sûr une étourderie de ma part : en régime quasi statique, l'énergie cinétique reste constamment quasi nulle. La conservation de l'énergie mécanique implique dans ce cas la conservation de l'énergie potentielle...
D'accord ! On il s'agit de la condition de stabilité pour l'arbre ? Je ne comprends pas trop la démarche.
lorsque l'arbre penche de façon quasi statique, cela se fait conformément à la conservation de l'énergie : l'énergie potentielle de pesanteur diminue alors qu'en même temps apparaît une énergie interne élastique due à la déformation du tronc : la moitié x<0 se comprime plus que lorsque l'arbre reste vertical alors que la moitié x>0 se comprime moins.
Cette inclinaison est physiquement possible puisqu'elle est conforme à la conservation de l'énergie. Bien sûr, il faut supposer l'arbre solidement lié au sol... (rôle des racines...)
En fait, c'est comme si les deux forces se compensaient, j'imagine.
Par ailleurs, concernant le module d'Young, je ne comprends pas mon erreur : j'ai simplement repris l'expression démontrée en 1) et divisé par dL (déplacement élémentaire). J'ai utilisé l'expression du travail d'une force.
Concernant le module de Young, j'ai basé ma démonstration sur les propriétés des associations de ressorts en série et en parallèle. Cela me parait important car cela intervient dans de nombreux autres domaines de la physique. Une autre approche est possible. L'élément de longueur L et de section droite (dx.dy) se comporte comme un ressort de raideur dKe telle que l'énergie potentielle élastique puisse s'écrire :
Par identification, on obtient :
La force exercée par un tel ressort a pour intensité :
Cela donne bien l'expression que je t'ai fournie à 13h06...
D'accord, je comprends mieux. Je pense que c'est bien de raisonner sur les associations de ressorts, en effet.
Merci
En mécanique, on parle de régime quasi statique quand l'accélération du centre d'inertie et/ou l'accélération angulaire pour une rotation est suffisamment faible pour que l'on puisse appliquer lors du mouvement, les lois de la statique :
- résultante des vecteurs forces extérieures égale au vecteur nul ;
- le moment en tout point des forces extérieures est le vecteur nul.
Si les forces de frottement sont négligeables, la conservation de l'énergie mécanique est équivalente à la conservation de l'énergie potentielle.
Cette notion d'évolution quasi statique est aussi très utilisée en thermodynamique.
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