Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île de la physique - chimie Forum de physique - chimieListe de tous les forums de physique - chimie SupérieurOn parle exclusivement de physique/chimie, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths supForum Supérieur de maths sup PhysiqueTopics traitant de Physique [tout]Lister tous les topics de physique - chimie
Niveau maths sup
Partager :

chute avec frottements

Posté par
abdalnour 05-07-07 à 22:50

Tout d'abord l'énoncé:
M point ponctuel.vitesse Vo à t=0.on note téta l'angle entre Vo et Ox.
soumis a son poids et a une force de frottement: f(t)=-v(t)
déterminier l'équation z(x) de la trajectoire.
ensuite je comprends:2éme loi de Newtondc
x"+x'/m=0
y"+y'/m=0
z"+z'/m=-g

mais ensuite, grand mystère,(pour moi) ils sortent dans le corrigé que
z'(t)=Cz * e^(-t/to)-mg/
D'où sort cet exponentielle???
Merci beaucoup de m'éclaire.au fait j'explique mon cas:étudiant de termS qui fait des devoirs de vac pour la prépa.hum...

Posté par
jamore : chute avec frottements 05-07-07 à 23:22

Bonsoir,

tu as un équation différentielle de la forme :

z"+kz'=a

Dans un premier temps, il faut résoudre l'équation homogène associée :

z"+kz'=0

Avec le changement de variable : Z=z' donc Z'=z", tu obtient :

Z'+kZ=0

Et ça, tu dois savoir le résoudre ...

Posté par
abdalnourre : chute avec frottements 07-07-07 à 12:17

oui la solution c'est f(x)=K*e^(-kx)    K appartenant a R
ici k=/m
dc on a K*e^(-x/m)     ?
ou bien fuat-il faire autre chose avant a cause du changement de variable?
et pourquoi eux ils mettent du -t/to?
Cz c'est mon K ?
Merci

Posté par
jamore : chute avec frottements 07-07-07 à 12:34

Dans un premier temps, tu trouves Z.

Puis comme Z=z', tu obtient z(t) par intégration de Z.

Ensuite, il ont du utiliser une condition initiale du genre z(t0) = z0 ...

Tu as donné l'énoncé complet ?

Posté par
abdalnourre : chute avec frottements 09-07-07 à 17:32

oui a part que je n'ai pas dit que la force de frottement était opposée et colinéaire a la vitesse.
donc si Z=K*e^(-x/m)
z(t)=K*e^(-t/m)
=K*e^(-t/m)/(-/m)+CSTE
=-mKe^(-t/m)/+CSTE
d'aprés l'énoncé:à t=0 z(t)=0 dc CSTE=mK/
voila voila mais aprés...je ne vois pas comment trouver leur réulstat, ni ce que c'est que leur (excusez moi j'avais mis to ce qui peut préter à confusion)
sinon c'est quoi:

Citation :
l'équation homogène associée
?
Merci

Posté par
jamore : chute avec frottements 09-07-07 à 17:35

L'équation homogène, c'est l'équation sans le second membre.

En fait, tu cherches à résoudre une équation différentielle du type :

z"+kz'=a

L'équation homogène associée est :

z"+kz'=0

Posté par
abdalnourre : chute avec frottements 10-07-07 à 11:29

d'accord et pour l'exercice vous ne voyez pas?
Merci

Posté par
jamore : chute avec frottements 10-07-07 à 11:53

Il faut que tu donnes ton énoncé, pour savoir ce que représente t0 et Cz ...

Posté par
jamore : chute avec frottements 10-07-07 à 11:54

Ah, je crois avoir compris, j'essaie de te faire ça cet après-midi ...

Posté par
abdalnourre : chute avec frottements 10-07-07 à 12:05

ok merci et désolé du dérangement. en effet j'ai donné l'énoncé complet et tau et Cz ne sont pas expliqués dedans.

Posté par
jamore : chute avec frottements 10-07-07 à 12:35

4$ z^{''} + \frac{\alpha}{m}z^' = g

Commencons par résoudre l'équation homogéne associée :

4$ z^{''} + \frac{\alpha}{m}z^' = 0

On pose 4$Z=z^'  donc  4$Z^'=z^{''}

L'équation devient :

4$ Z^' + \frac{\alpha}{m}Z = 0

4$ Z^' = -\frac{\alpha}{m}Z

La solution de cette équation est : 4$Z = ke^{-\frac{\alpha}{m}t}

Donc, en intégrant :

4$z_h = -\frac{km}{\alpha}e^{-\frac{\alpha}{m}t}

Maintenant, il faut une solution particulière : 4$z_p = -\frac{gm}{\alpha}t

Donc, la solution générale est donnée par :

4$\fbox{z(t) = z_h + z_p = -\frac{km}{\alpha}e^{-\frac{\alpha}{m}t} - \frac{gm}{\alpha}t}

Maintenant, il faut utiliser la condition initiale pour determiner k ...

Mais es-tu ok jusque là ?

Posté par
jamore : chute avec frottements 10-07-07 à 12:39

Sinon, pour 4$\tau et 4$C_z, c'est tout simplement :

4$\tau = \frac{m}{\alpha}  et  4$C_z = -\frac{km}{\alpha}

Ce qui donne :

4$\fbox{z(t) = C_ze^{-\frac{t}{\tau}} - \frac{gm}{\alpha}t}

Posté par
jamore : chute avec frottements 10-07-07 à 12:54

Zut, j'ai oublie uné 2ème constante lors de l'intégration de Z pour obtenir z. On a donc :

4$z(t) = -\frac{k_1m}{\alpha}e^{-\frac{t}{\tau}} +k_2 - \frac{gm}{\alpha}t

On utilise la condition initiale :

4$z(0)=0 \\ \\ -\frac{k_1m}{\alpha}e^0 + k_2 - \frac{gm}{\alpha} \times 0 = 0 \\ \\ -\frac{k_1m}{\alpha} + k_2 = 0 \\ \\ k_2 = \frac{k_1m}{\alpha}

Donc :

4$\fbox{z(t) = \frac{k_1m}{\alpha}(1-e^{-\frac{t}{\tau}}) - \frac{gm}{\alpha}t}

Pour determiner la condition initiale k1, il faut une autre condition initiale (par exemple la vitesse initiale)

En dérivant z(t), on obtient :

4$z^'(t) = \frac{k_1m}{\alpha} \times \frac{1}{\tau} e^{-\frac{t}{\tau}} - \frac{gm}{\alpha} \\ \\ z^'(t) = \frac{k_1m}{\alpha} \times \frac{\alpha}{m} e^{-\frac{t}{\tau}} - \frac{gm}{\alpha} \\ \\ \fbox{z^'(t) = k_1 e^{-\frac{t}{\tau}} - \frac{gm}{\alpha} }

Donc, en fait, on a : 4$C_z = k_1  (ce que j'avais dis avant pour 4$C_z est faux ...)

Posté par
abdalnourre : chute avec frottements 10-07-07 à 15:23

Citation :
Mais es-tu ok jusque là ?

eee non pas vraiment.
J'ai compris que votre zp sert a sortir de l'"équation homogène" pour celle que nous chercons vraiment.C'est ça? Mais comment l'avez vous trouvé?
Merci
sinon pour le reste oula...Bon je vais d'abord me concentrer la dessus

Posté par
abdalnourre : chute avec frottements 10-07-07 à 15:25

Citation :
Mais es-tu ok jusque là ?

eee non pas vraiment.
J'ai compris que votre zp sert a sortir de l'"équation homogène" pour celle que nous chercons vraiment.C'est ça? Mais comment l'avez vous trouvé?
Merci
sinon pour le reste oula...Bon je vais d'abord me concentrer la dessus

Posté par
jamore : chute avec frottements 10-07-07 à 17:44

Il faut que tu revoies le principe de résolution d'une équation différentielle.

La solution générale est egale à la somme de la solution de l'équation homogène et d'une solution particulière.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île
Mentions légales - Retrouvez cette page sur l'île de la physique - chimie
© digiSchool 2025

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !