Bonjour à tous voilà j'ai un problème avec un exercice de chimie que je vais présenter :
le composé A subit deux transformations

(1)  A -> A' de constante cinétique k (A est instable, A' est stable)
(2) 2A -> A₂ de constante cinétique k'

à t=0 on a [A] = a₀ , [A'] = 0 et  [A₂] = 0

Comment choisir a₀ pour favoriser le plus possible la réaction (2) par rapport à la réaction (1) ?

j'ai trouvé que la réaction 1 à une vitesse qui vaut k[A] et la réaction 2 en a une qui vaut k'[A]², j'ai établi l'équation différentielle qui est

d[A]/dt + k[A] + 2k'[A]² = 0 et je l'ai résolue pour trouver

[A]_t = (a₀k*exp(-kt))/(k+2k'a₀(1-exp(-kt))

j'ai ensuite calculé la concentration en A' en intégrant d[A']/dt = k[A]

et je trouve [A']_t = (k/2k')*ln(1+(2k'/k)a₀(1-exp(-kt)))
(les résultats avancés ont été vérifiés avec MAPLE)

Mon problème est que je n'arrive pas à calculer la concentration en [A₂] car on a en fait d[A₂]/dt = k'[A]² et que la méthode pour intégrer est beaucoup plus compliquer que pour la réaction 1 et j'aimerai savoir s'il y'a une astuce , il y en a forcément une parce que les calculs sont interminables et je n'aboutis pas.
Peut être faut il faire un tableau d'avancement avec des réactions parallèles afin de raisonner sur les concentrations pour tout simplement faire une différence de concentration (concentration restante, concentration consommée...)

Merci d'avance pour les réponses !