Niveau licence

chemin optique

Posté par
jybb 27-03-22 à 16:57

Bonjour,

J'ai un problème de mécanique niveau L3, voici l'énoncé :

On a un milieu à symétrie sphérique, avec l'indice de réfraction étant n = n(r).
r est la distance à l'origine. La propagation des rayons se fait dans les plans passant par l'origine. On étudie la trajectoire du rayon dans son plan de propagation. On utilise les coordonnées polaires (r, $\theta$ ). La trajectoire du rayon est paramétrée par la loi $r(\theta)$ .

1. Le chemin optique entre deux points du plan A et B est l'intégrale sur la trajectoire du rayon suivante :

$\displaystyle \int_{A}^{B}n.ds$ avec ds l'abscisse curiviligne.

exprimer $ds/d\theta$ en fonction de $r'(\theta)$ puis montrer que [AB] peut s'écrire :

$\displaystyle \int_{\theta_A}^{\theta_B}L(r(\theta), r'(\theta))d\theta$ , où on explicitera la fonction L.

2. Montrer que $a=\dfrac{n(r)r^2}{\sqrt{r^2+r'^2}}$ est une constante

3. Quelle loi n(r) donne une trajectoire circulaire pour le rayon ?

4. Pour une loi quelconque n(r), montrer que l'équation de la trajectoire est donnée par la loi :

$\dfrac{r''}{r'} = \dfrac{n^2r^2}{a^2}\left(1+\dfrac{1}{n}\dfrac{d(nr)}{dr}\right)-1$

Pour la 1), ce que j'ai fait :

je pose $x=r(\theta)\cos\theta$ et $y=r(\theta)\sin\theta$ , ensuite j'ai :

$\dfrac{dx}{d\theta} = r'(\theta)\cos(\theta)-r(\theta)\sin\theta$

$\dfrac{dy}{d\theta} = r'(\theta)\sin(\theta)+r(\theta)\cos\theta$

et on a $ds^2 = dx^2 + dy^2$ , donc après un calcul un peu long on obtient :

$\dfrac{ds}{d\theta} = \sqrt{r'^2+r^2}$

et donc $ds = \sqrt{r'^2+r^2}d\theta$

Pour la 2), je pense qu'il faut utiliser l'équation d'Euler-Lagrange suivante :

$\dfrac{\partial L}{\partial r} = \dfrac{\partial}{\partial\theta}\dfrac{\partial L}{\partial r'}$ , mais la deuxième dérivée, à savoir : $\dfrac{\partial}{\partial\theta}\dfrac{n(r)r'}{\sqrt{r'^2+r^2}}$ est très difficile, je n'y arrive pas... cela me fait douter si c'est bien la bonne route que j'emprunte ?!

Merci d'avance pour votre aide