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Niveau maths sup
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Chauffage avec une PAC

Posté par
EvDavid
25-06-17 à 07:59

Bonjour,

Je travaillais un problème de thermodynamique, et j'ai trouvé des difficultés dans certaines questions. Mais j'ai trouvé encore plus de difficultés dans la compréhension du corrigé. Je pense que cela est dû à une mal compréhension du cours. J'espère que vous pourrez me guider vers le bon chemin après détection de mes lacunes .

Je situe le problème rapidement : On se propose dans ce problème d'étudier dans les grandes lignes le principe de chauffage d'une pièce à l'aide d'une pompe à chaleur.
L'air de la pièce sera assimilié à un gaz parfait diatomique de rapport isentropique = 1.4
La masse molaire de l'air est d'environ M=29g/mol . Dans tout le problème on ne tiendra pas compte de la vapeur d'eau contenue dans l'air.
On rappelle également la valeur de la constante de Joule R=8.31 J.mol/K et on note r=R/M. Enfin dans tout le problème T désignera la température et t le temps.

La première partie concerne des propriétés énergétiques de la pièce.
La deuxième partie est celle du principe théorique de la pompe à chaleur ( PAC ) : Dans cette partie, la pompe à chaleur notée PAC est supposée fonctionner entre l'air de la pièce de température Tp(t) à un instant t et de capacité thermique C et l'atmosphère extérieure assimilée à un thermostat parfait de température Text=275K. A l'instant initial Tp(0)=Text=275K . On souhaite amener la pièce à température Tf=298K. La pièce est supposée parfaitement isolée et on néglige donc dans cette partie les pertes énergétiques au travers des murs et fenetres de la pièce.
6) Faire le schéma synoptique d'un cycle de la PAC.
7) On se place en régime permanent de fonctionnement de la PAC, où celle-ci alimentée électriquement reçoit un travail électrique W.
Pour la pièce on aura à tout instant Tpiece=Tf=298K et pour l'extérieur Text=275K Définir et calculer l'efficacité de la PAC en régime permanent en fonction de Tpiece et Text en supposant le cycle réversible.
8) On tient maintenant compte de la capacité thermique finie de l'air de la pièce calculée précédemment et l'on souhaite rétablir la loi d'évolution de la température Tp(t) sachant que Tp(0)=Text=275K. On appelle PB=(W)/dt la puissance mécanique fournie à la PAC supposée positive et constante.
i)En considérant un cycle élémentaire de durée dt, donner l'expression de la quantité de chaleur Qpiece que le fluide de la PAC échange avec la pièce. Justifier le signe.
ii) Exprimer la  chaleur Qext échangée par le fluide de la PAC avec l'air extérieur en fonction de C, dTp , dt et PB
iii)Calculer de même pour un cycle élémentaire l'entropie d'échange élémentaire Se du fluide de la PAC avec la pièce et l'atmosphère en fonction de C , dTp , Tp , Text , dt et PB.
iv)En supposant le cycle réversible montrer que Tp(t) obéit à l'équation différentielle suivante : dT_{p}(\frac{1}{T_{ext}}-\frac{1}{T_{p}})=\frac{P_{B}dt}{C.T_{ext}}
v) En intégrant cette équation différentielle , déterminer et calculer la durée t de chauffage de la pièce pour l'amener de Tp(0) à Tf. Faire l'AN pour une puissance PB=500W.
10) On suppose maintenant que le fonctionnement de la PAC irréversible et on note Sp l'entropie produite par irréversibilité lors de la nouvelle durée du chauffage de la valeur Tp(0) à Tf , toutes choses égales par ailleurs. En appelant t' cette nouvelle durée de chauffage, exprimer Sp en fonction de t' , PB, C et Text puis Sp en fonction de t' , t , PB, Text.

C'était l'énoncé, durant mon travail tout allait bien jusqu'aux questions de : 8)ii. à la dernière question 10) .

Je donne la réponse du corrigé aux questions où j'ai trouvé des difficultés , car je n'ai pas compris le corrigé , j'indiquerai entre parenthèse ce que je ne comprends pas.

ii) Avec le 1er principe : Qpiece + Qext + W=0 et donc Qext=C.dTp-PB.dt ( Je ne comprend pas d'où vient ce " avec le 1er principe " , car , je suis revenu au cours, je trouve qu'on a une énergie totale constante si le système est isolé ce qui n'est pas notre cas, et encore , c'est l'énergie totale , donc il faut le considérer macroscopiquement au repos  et isolé pour arriver à la relation du corrigé , sinon , il faut dire que U=0 car c'est une fonction d'état mais dans ce cas on n'a pas les quantités élémentaires )
iii) D'après le cours : entropie échangée = - variation d'entropie des sources ( Je n'ai pas cette relation dans le cours, et je ne vois pas du tout d'où elle provient ) donc : \delta S_{e}=\frac{-CdT_{p}}{T_{p}}+\frac{CdT_{p}}{T_{ext}}-\frac{P_{B}dt}{T_{ext}}
iv) D'après le cours , on a la relation dS=dSunivers+dSe où dS est la variation d'entropie du fluide. Pour un cycle , on a toujours dS=0 et pour un cycle réversible on aura dSunivers=0 dans ce cas on aura donc dSe=0 ( J'avoue que là je suis complétement bouleversé , car , je pense que d'abord on a S=0 au cours d'un cycle car l'état final correspond à l'état initial et S est une fonction d'état et non pas dS=0 , deuxièment je ne vois pas du tout d'où provient la relation dS=dSunivers+dSe est-ce que dSunivers=dSc ? et aussi , on doit utiliser les notations pour les entropies créées et échangées puisque ce ne sont pas des fonctions d'état )
On obtient alors l'équation différentielle demandée.
Et on trouve : \Delta t=\frac{C.T_{ext}}{P_{B}}[\frac{1}{T_{ext}}(T_{f}-T_{ext})-ln(\frac{T_{f}}{T_{ext}})]
10) Si le fonctionement de la PAC est irréversible alors dSc>0 alors que dS sera toujours nul puisque le fluide décrit des cycles et on aura :
dS_{p}=dS_{creee}=dS+dS_{sources}=dS-dS_{echangee}=-dS_{echangee}>0
( Sincèrement je n'ai rien compris, mais je pense que si je comprends la première égalité , je pourrai comprendre les autres ? )

Je n'ai pas terminé l'écriture de la correction de la dixième question car ce sont des calculs qui se basent sur ce qui précéde , et ils sont compréhensibles si on comprend les premières relations . Voici, ce sont des lacunes qui me hantent depuis quelques jours , et je reviens constamment au cours mais je n'obtient pas de réponses.

J'espère que vous pourrez m'aider afin que je puisse continuer d'avancer et maitriser ce chapitre.

Merci d'avance.

Posté par
krinn Correcteur
re : Chauffage avec une PAC 25-06-17 à 14:56

Bonjour
Sur un cycle élémentaire on a dU =0 et dS =0

iii dans le cours on a surtout Se = Q/T échange dans le cas d un échange de chaleur avec un thermostat

Iv d'après le cours on a dS = Sc + Se
Et ici dS=0 et Sc=0 d 'ou Se =0

Sauf erreur

Posté par
EvDavid
re : Chauffage avec une PAC 25-06-17 à 15:45

Bonjour ,

Je vous remercie pour votre réponse. Je comprends maintenant la iii) , mais pouvez-vous me dire s'il vous plait pourquoi sur un cycle dU=0 et dS=0 ? Car j'ai bien le cours devant et c'est précisé : \oint_{}^{}{dU}=0 et \oint_{}^{}{dS}=0
car ce sont des fonctions d'état et au cours d'un cycle l'état final correspond à l'état initial. De plus, avant d'écrire dU=0 il le justifie par le premier principe ce qui m'embrouille encore plus :/

Merci d'avance

Posté par
krinn Correcteur
re : Chauffage avec une PAC 25-06-17 à 15:52

On imagine ici un cycle elementaire de durée dt
C'est évidemment irrealisable (il faudrait faire circuler le fluide à des vitesses très grandes ) mais on peut tjs l'imaginer (c'est comme une quasi statique réversible ça n'existe pas mais ça n'empêche pas de faire des calculs justes

Posté par
EvDavid
re : Chauffage avec une PAC 25-06-17 à 16:47

Merci pour votre réponse. Donc sur la durée dt , on considère que l'entropie et l'energie interne restent constante ? ( ou encore une variation negligeable puisque c'est un cycle élementaire ? )

Posté par
krinn Correcteur
re : Chauffage avec une PAC 25-06-17 à 17:02

On considere un cycle de durée arbitrairement petite dt
Et sur ce cycle élémentaire, U varie de dU et comme c'est un cycle on a dU =O (on ne néglige rien ici)

Posté par
EvDavid
re : Chauffage avec une PAC 25-06-17 à 17:33

C'est ce que je ne comprend pas en fait. Pourquoi sur un cycle dU=0 ? dU=0 veut dire que l'énergie interne reste constante non ? Sinon , je comprend bien pourquoi U=0 .
Je m'excuse pour toutes ces questions :/
Merci d'avance

Posté par
krinn Correcteur
re : Chauffage avec une PAC 25-06-17 à 17:52

Sur un cycle ELEMENTAIRE on a dU =O

C'est du bête calcul differentiel en fait, on raisonne sur un cycle infinitesimal mais ça reste un cycle
On est obligé ici de l utiliser ici car car Tp varie de façon continue

Posté par
vanoise
re : Chauffage avec une PAC 25-06-17 à 18:00

Bonjour

Citation :
C'est ce que je ne comprend pas en fait. Pourquoi sur un cycle dU=0 ?


Une autre approche peut-être plus intuitive puis je laisse krinn continuer.
Il faut savoir que les transferts thermiques entre la PAC , la salle chauffée et l'air extérieurs sont des phénomènes lents alors que la PAC tourne très vite : plusieurs centaines, voire quelques milliers de cycles par minute. On peut donc choisir un "pas" de calcul (au sens de Riemann quand il introduit le calcul intégral) suffisamment grand devant la durée d'un tour pour que le nombre de cycle parcourus pendant la durée dt soit assimilable à un nombre entier n.dt avec n : nombre de cycles décrit par seconde.
La variation d'énergie interne du fluide pendant la durée dt s'écrit alors :
dU=n.Ucycle.dt avec Ucycle=O (la variation d'énergie interne du fluide sur un cycle est nulle car U : fonction d'état)
La variation d'entropie du fluide dans la PAC pendant la durée dt s'écrit de même :
dS=n.Scycle.dt avec Scycle=O (S fonction d'état)

Posté par
krinn Correcteur
re : Chauffage avec une PAC 25-06-17 à 18:35

Bonsoir Vanoise,
Je vois que ça n'a pas changé: le calcul differentiel et intégral reste un sujet delicat

Posté par
EvDavid
re : Chauffage avec une PAC 25-06-17 à 21:12

Bonsoir,

Je comprend maintenant ^^
Je vous remercie pour vos réponses et toute votre patience.



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