Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île de la physique - chimie Forum de physique - chimieListe de tous les forums de physique - chimie SupérieurOn parle exclusivement de physique/chimie, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths spéForum Supérieur de maths spe PhysiqueTopics traitant de Physique [tout]Lister tous les topics de physique - chimie
Niveau maths spé
Partager :

Charge piégée

Posté par
Witaek 21-06-21 à 14:56

Bonjour, je bloque un peu sur un exercice d'éléctromagnétisme. Voici l'énoncé :

Un matériau chargé occupe tout l'espace x > 0, la densité de charge volumique est \rho(x,y,z) = \rho_0 exp(\frac{-x}{a}).

Question : Y a-t-il un endroit de l'espace où une charge serait piégée ?

Pour commencer j'ai voulu simplement déterminer le champ électrique dû à la présence de charges. Je détermine le champ d'une plaque d'épaisseur dx que j'intègre entre 0 et +.
J'utilise pour cela, le théorème de Gauss avec comme surface de Gauss un pavé droit de section S et de hauteur 2x.
On obtient 2dE(x)S = \frac{\rho S dx}{\epsilon_0} donc E(x) = \frac{\rho_0}{2\epsilon_0}\int_{0}^{+\infty}{exp(-x/a)}dx = \frac{\rho_0 a}{2\epsilon_0}.
Ainsi \vec{E(x)} = -\frac{\rho_0 a}{2\epsilon_0}\vec{u_x} \\ car le champ est selon -\vec{u_x}. Maintenant je ne sais pas trop comment expliquer qu'une charge pourrait éventuellement être piégée... Pourriez-vous m'éclairer ?  Merci d'avance !

Posté par
diracre : Charge piégée 21-06-21 à 16:19

Hello

L'expression de \vec{E(x)} que tu établis est valable pour x < 0. Qu'en est il pour x > 0 ?

Posté par
Witaekre : Charge piégée 21-06-21 à 16:46

Si je poursuis mon histoire de plaque, on aurait pour x>0 :  \vec{E(x)} = \frac{\rho_0 a}{2\epsilon_0} \vec{u_x} soit l'opposé de ce qu'on a pour x<0. Mais étant donné que pour x>0 on est en plein dans les charges je ne suis pas sûr à 100%...

Posté par
diracre : Charge piégée 21-06-21 à 17:00

Citation :
on est en plein dans les charges




Tu peux tout de même appliquer le Théorème de Gauss après avoir souligné (auprès du prof/correcteur) que les invariances et les symétries du dispositif entrainent \vec{E}(x,y,z) = E(x)\vec{e}_x . Donc tu prends un cylindre d'axe porté par\vec{e}x et de base de surface quelconque S

A toi?

Posté par
Witaekre : Charge piégée 21-06-21 à 18:20

Je ne suis pas sûr de bien comprendre ce que vous voulez que je fasse. Le cylindre que vous considérez dans votre théorème de gauss, je le place moitié/motié dans les zones sans charge / avec charge ?

Posté par
diracre : Charge piégée 21-06-21 à 18:33

Question intéressante. Tu as fait une première intégration sur [0,+[ (soit dit en passant, tu as supposé sans le dire que le champ électrique à l'infini était nul ce qui est raisonnable)

Je te propose donc, pour calculer E(x) en x >0 de prendre un cylindre sur [0,x]

... ou bien sur [x, +[

... Voire les deux pour bien t'approprier le Théorème de Gauss Car à la fin tu dois trouver le même résultat

A toi?

Posté par
Witaekre : Charge piégée 21-06-21 à 18:46

Ok je me lance dans les calculs et je reviens vers vous ! Merci beaucoup.

Par contre, le fait que le champ est nul à l'infini n'est-il pas assuré par l'expression de la densité de charge en exponentielle décroissante ?

Posté par
Witaekre : Charge piégée 21-06-21 à 19:00

Sinon quand je mène le calcul je tombe sur la même chose à l'exception que je dois intégrer entre 0 et x ce qui donne au final :
\vec{E(x)} = \frac{-a\rho_0}{2\epsilon_0}(exp(-x/a)-1)

Posté par
Witaekre : Charge piégée 21-06-21 à 19:03

avec \vec{u_x} à la fin bien sûr sinon c'est pas homogène.

Posté par
diracre : Charge piégée 21-06-21 à 19:26

Top!

Concernant le champ nul à l'infini, plutôt que d'évoquer la densité de charge, je crois plus pertinent (juste, en fait ) de faire référence à E = -gradV.
Pour éclairer ce commentaire: tu n'as pas de charge en - et pourtant tu as un champ (tiens, le potentiel devient infini en -) ?
Par contre en + le champ est nul, car le gradient du potentiel le devient (c'est la fonction exponentielle qui l'assure comme tu l'as fort justement précisé )

Posté par
vanoisere : Charge piégée 21-06-21 à 19:31

Bonsoir dirac, Bonsoir Witaek
Je me permet d'intervenir car je ne suis pas tout à fait d'accord avec cette phrase :

Citation :
(soit dit en passant, tu as supposé sans le dire que le champ électrique à l'infini était nul ce qui est raisonnable)

Un champ électrique nul à l'infini est la situation habituellement rencontrée  pour une distribution de charge d'extension finie. Ce n'est pas le cas du tout ici. La source est d'extension infinie suivant x positif et aussi suivant y et z.
On peut aussi tester le résultat obtenu dans le cas où a est très faible ce qui revient à considérer |x|>>a : cela revient à assimiler la distribution de charge à une plaque de densité surfacique (valeur à déterminer en fonction de a et o). Dans ce cas partiulier, on doit obtenir :

\overrightarrow{E}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{o}}\overrightarrow{u_{x}}\quad si\quad x>0 \\ \\ \overrightarrow{E}=\frac{-\sigma}{2\varepsilon_{o}}\overrightarrow{u_{x}}\quad si\quad x<0

edit > Ltx corrigé

Posté par
vanoisere : Charge piégée 21-06-21 à 19:38

Il semble que dirac se soir rendu compte de son erreur pendant que j'écrivais mon message de  19h31.
A mon avis la méthode la plus simple s'inspire de celle proposée par Witaek dans son premier message.
Pour calculer l'expression du vecteur champ en xo, on commende par établir l'expression du vecteur champ \vec{dE} crée par les charge comprises entre les plan d'abscisse x et (x+dx) en faisant attention au signe selon que x est supérieur ou inférieur à xo puis on intègre...

Posté par
diracre : Charge piégée 21-06-21 à 19:50

Hello vanoise,
Non je ne m'étais pas rendu compte de mon erreur ...(et n'en suis toujours pas , cf mon dernier post ) je commentais simplement l'intégration sur 0 , + l'infini qui embarque le E = 0 à l'infini

Bon, je vous laisse traiter le sujet "scolairement" avec l'approximations surfacique

Posté par
vanoisere : Charge piégée 21-06-21 à 20:12

Citation :
Bon, je vous laisse traiter le sujet "scolairement" avec l'approximations surfacique

Il ne s'agit pas de traiter le sujet scolairement de façon approximative mais tout simplement d'utiliser la traditionnelle méthode du "découpage de la source" dans la mesure où l'application du théorème de Gauss telle que suggérée dans les premiers messages est impossible puisque le champ n'est pas nul, ni en x ni en x-.

Posté par
Witaekre : Charge piégée 21-06-21 à 21:35

Bonsoir, du coup je suis un peu perdu ! Mes expressions du champ pour x>0 et x<0 sont elles correctes ?

pour x< 0  \vec{E(x)} = -\frac{\rho_0 a}{2\epsilon_0}\vec{u_x} \\

pour x>0  \vec{E(x)} = \frac{-a\rho_0}{2\epsilon_0}(exp(-x/a)-1)

Posté par
vanoisere : Charge piégée 21-06-21 à 22:12

Citation :
du coup je suis un peu perdu !

Je te comprends. Je vais essayer de reprendre dès le début. Tu peux commencer par t'intéresser au champ élémentaire créé par la tranche élémentaire de charge située entre les plans d'abscisse x et (x+dx).
Le vecteur champ élémentaire a pour expression :

\overrightarrow{dE}=\frac{\rho_{(x)}.dx}{2\varepsilon_{o}}\overrightarrow{u_{x}} pour les point M situés au dessus de cette tranche élémentaire ;

\overrightarrow{dE}=-\frac{\rho_{(x)}.dx}{2\varepsilon_{o}}\overrightarrow{u_{x}} pour les point M situés au dessous de cette tranche élémentaire. N'hésite pas si tu as des difficultés à démontrer cela.
Pour les point M tels que x<0 : aucune difficulté car toutes les tranches élémentaires sont au-dessus du point M où on détermine le vecteur champ. On arrive à ton résultat mais ce bon résultat a été obtenu de façon un peu étrange dans ton premier message ...

\overrightarrow{E}=\frac{-\rho_{o}.a}{2\varepsilon_{o}}\overrightarrow{u_{x}}\quad si\quad x<0
En revanche, ton calcul est faux concernant les points tels que x>0. Cela se voit sans calcul : une distribution volumique de charges comme ici ne crée aucune discontinuité du vecteur champ contrairement à une distribution surfacique. Or, ton expression conduit à une discontinuité en x=0.
Méthodes possibles :
1° : utiliser la méthode précédente en faisant bien la différence entre les tranches élémentaires situées au-dessus du point M et les tranches élémentaires situées en dessous du point M.
2° : utiliser le théorème de Gauss à un "pavé droit" de section d'aire S, la surface supérieure étant à l'abscisse x>0 et la surface inférieure étant à une abscisse quelconque négative.
Remarque : cette méthode est applicable maintenant que nous connaissons l'expression de E en x<0 mais n'était  pas possible dès le départ, sans connaître l'expression de E quelque part. Or ce "quelque part" ne pouvait pas être l'infinie puisque le champ à l'infini n'est pas nul et était inconnue à la première question...

Posté par
Witaekre : Charge piégée 21-06-21 à 22:43

Je tente la deuxième méthode :

Le théorème de Gauss appliqué au pavé droit que vous décrivez (je le prend entre -x et x) donne :

\int \int \vec{E}\vec{dS} = \frac{Qint}{\epsilon_0}
-E(-x)S +E(x)S = \frac{\rho S x}{\epsilon_0}
E(-x) = E(x) - \frac{\rho x}{\epsilon_0} = -\frac{\rho a }{2\epsilon_0} - \frac{\rho x}{\epsilon_0} = \frac{-\rho}{\epsilon_0}(\frac{a}{2} + x) qui est donc le champ pour les x négatifs

Là on a bien une continuité du champ en 0. Si cela ne vous dérange pas, pourriez vous commenter votre 1ère méthode ? Je ne sais pas bien comment formaliser votre "en faisant bien la différence entre les tranches élémentaires situées au-dessus du point M et les tranches élémentaires situées en dessous du point M".

En tout cas merci pour votre aide !

Posté par
Witaekre : Charge piégée 21-06-21 à 22:46

Ouah non j'ai tout embrouillé, on connait déja E(-x) c'était E(x) qu'on cherchait. Voici donc l'expression corrigée : E(x) = \frac{\rho}{\epsilon_0}(x - \frac{a}{2}).

Pardonnez cette étourderie.

Posté par
vanoisere : Charge piégée 21-06-21 à 23:28

Non : ton erreur provient peut-être d'une confusion dans les notations. Il faut bien faire la différence entre la variable x dont dépend la valeur de la densité volumique de charge et l'abscisse xM>0 du point M où on calcule l'expression du vecteur champ. Ainsi, la charge intérieure à prendre en compte à l'intérieur de la surface de Gauss est celle comprise dans ton "pavé droit" entre les plans x=0 et x=xM>0.
Je te laisse corriger. Pour t'autocorriger, je te joins la courbe représentant les variations de la composante non nulle Ex du vecteur champ en fonction de xM/a. Unité arbitraire en ordonnées...
Bien noter que, pour xM+, Ex tend vers la valeur opposée à la valeur limite obtenue lorsque xM-. C'était le sens de mon message du 21-06-21 à 19:31.
Piéger une particule de charge q revient à étudier la possibilité d'équilibre stable de cette particule. Tu sais que l'énergie potentielle d'une particule de charge q dans un champ extérieur est :
Ep=q.V avec V : potentiel électrostatique. Reste donc à étudier la courbe V=f(x). Attention : la source du champ étant d'extension infinie, pas question de postuler V0 si |x|. Il faut partir de la formule du gradient et poser un plan de potentiel arbitrairement nul. Par exemple : V=0 si x=0. Ce choix arbitraire ne nuit pas à la généralité du problème puisque seules les variations de potentiel ont un sens physique.

Charge piégée

Posté par
vanoisere : Charge piégée 21-06-21 à 23:36

Voici la courbe V=f(x/a). Échelle arbitraire en ordonnée. Tu devrais maintenant être capable de terminer...

Charge piégée

Posté par
Witaekre : Charge piégée 22-06-21 à 09:16

Bonjour, merci pour vos réponses. En fait je ne suis pas sûr de bien comprendre mon erreur. Si je suis votre raisonnement, j'aurais alors un xM dans mon expression finale ?

Posté par
vanoisere : Charge piégée 22-06-21 à 11:26

Oui. Pour la suite, tu pourras éventuellement appeler x la coordonnée de M, ce qui reviendra à poser x=xM mais, pour le calcul intégral, il est indispensable de bien distinguer la variable d'intégration "x" de la borne de l'intégrale "xM". Sinon, on obtient un résultat faux et irréaliste comme celui que tu as proposé dans ton message du 21-06-21 à 22:43.  Autre erreur dans ce message : tu y as considéré comme une constante alors que dépend de x...

Posté par
Witaekre : Charge piégée 22-06-21 à 12:29

J'essaye de nouveau :

\int\int\vec{E}\vec{dS} = E(x_M)S + E(-x_M)S = \frac{Qint}{\epsilon_0}\\ \\ = \int_0^{x_M}{\frac{\rho Sdx}{\epsilon_0}} = \frac{S\rho_0}{\epsilon_0}\int_0^{x_M}{exp(\frac{-x}{a})dx} = \frac{-aS\rho_0}{\epsilon_0}(exp(-x_M/a) -1)


Donc :

E(x_M) = \frac{-a\rho_0}{\epsilon_0}(exp(-x_M/a) -1) - E(-x_M)\\ = \frac{-a\rho_0}{\epsilon_0}(exp(-x_M/a) -1) + \frac{a\rho_0}{2\epsilon_0} = \frac{a\rho_0}{2\epsilon_0}(3 - 2 exp(-x_M/a))=...

ce qui ne peut pas être bon... Je crois bien que je ne comprends pas bien quoi intégrer et comment...

Posté par
vanoisere : Charge piégée 22-06-21 à 14:08

Tu sembles mélanger cette étude avec l'étude du champ créé par un plan chargé où on ignore l'expression de E en tout point de l'espace mais où, par raison de symétrie, on sait : E(-xM)=-E(xM) ; il faut alors impérativement choisir comme surfaces de base de ton pavé plan, une surface correspondant à x=xM et une autre surface en x=-xM.

Ici, on sait déjà que le champ est uniforme dans tout le demi espace x<0. La surface supérieure doit donc être en x=xM mais la surface inférieure peut correspondre à une abscisse  quelconque mais négative. Le sens positif pour le flux à travers cette surface d'abscisse négative est le sens négatif et nous avons déjà démontré pour une abscisse négative : E=-\frac{\rho_{o}.a}{2\varepsilon_{o}}  . Le flux du vecteur champ à travers cette surface de base d'abscisse négative est ainsi :
\Phi_{1}=-\frac{\rho_{o}.a}{2\varepsilon_{o}}\cdot\left(-S\right)=\frac{\rho_{o}.a.S}{2\varepsilon_{o}} .
Le théorème de Gauss s'écrit finalement :

E_{\left(x_{M}\right)}\cdot S+\frac{\rho_{o}.a.S}{2\varepsilon_{o}}=\frac{Q_{int}}{\varepsilon_{o}}=\frac{\rho_{o}.a.S}{\varepsilon_{o}}\cdot\left[1-\exp\left(-\frac{x_{M}}{a}\right)\right] \\
Après simplifications :

E_{\left(x_{M}\right)}=\frac{\rho_{o}.a}{2\varepsilon_{o}}\cdot\left[1-2.\exp\left(-\frac{x_{M}}{a}\right)\right]

Pour alléger les notations, maintenant qu'il n'y a plus de risque de confusion entre borne d'une intégrale et variable d'intégration, tu peux te contenter de noter x l'abscisse d'un point quelconque plutôt que xM. Pour résumer :

\overrightarrow{E}=\frac{-\rho_{o}.a}{2\varepsilon_{o}}\overrightarrow{u_{x}}\quad si\quad x<0 \\ \\ \overrightarrow{E}=\frac{\rho_{o}.a}{2\varepsilon_{o}}\cdot\left[1-2.\exp\left(-\frac{x}{a}\right)\right]\cdot\overrightarrow{u_{x}}\quad si\quad x\geq0

Deux remarques :

* Continuité du vecteur champ en x=0 comme déjà justifié.

* pour x>5a, l'exponentielle est quasi nulle, le vecteur champ en x>5a est sensiblement l'opposé de celui en x<0 (voir courbe déjà fournie) ...

Je te laisse continuer...

edit >  Ltx corrigé

Posté par
vanoisere : Charge piégée 22-06-21 à 14:36

Citation :
Si cela ne vous dérange pas, pourriez vous commenter votre 1ère méthode ? Je ne sais pas bien comment formaliser votre "en faisant bien la différence entre les tranches élémentaires situées au-dessus du point M et les tranches élémentaires situées en dessous du point M".


Je pars de l'expression du champ élémentaire créé par une tranche élémentaire de charge située entre les plans d'abscisses x et (x+dx) :

\overrightarrow{dE}=\frac{\rho_{(x)}.dx}{2\varepsilon_{o}}\overrightarrow{u_{x}} pour les point M situés au dessus de cette tranche élémentaire ;

\overrightarrow{dE}=-\frac{\rho_{(x)}.dx}{2\varepsilon_{o}}\overrightarrow{u_{x}} pour les point M situés au dessous de cette tranche élémentaire. N'hésite pas si tu as des difficultés à démontrer cela.

Pour les points M d'abscisses négatives, toutes les couches élémentaires sont situées au dessus du point M et créent donc en M des vecteurs champ de même sens : le sens négatif. Il suffit donc de faire la somme des vecteur champ élémentaire créés par toutes les couches élémentaires :

si\quad x<0\quad E=-\frac{1}{2\varepsilon_{o}}\int_{0}^{\infty}\rho_{(x)}.dx=-\frac{\rho_{o}.a}{2\varepsilon_{o}}

Pour les points d'abscisses positives xM>0, il faut faire la somme des vecteurs champ élémentaires créés par les couches élémentaires situées en dessous de M qui sont orientés dans le sens négatif et la somme des vecteurs champ élémentaires créés par les couche situées au dessus du point M qui créent en M des vecteurs champ orientés dans le sens négatif :

si\quad x_{M}>0\quad E=\frac{1}{2\varepsilon_{o}}\int_{0}^{x_{M}}\rho_{(x)}.dx-\frac{1}{2\varepsilon_{o}}\int_{x_{M}}^{\infty}\rho_{(x)}.dx=\frac{\rho_{o}.a}{2\varepsilon_{o}}\cdot\left[1-2.\exp\left(-\frac{x_M}{a}\right)\right]

Je n'ai pas développé les calculs...

Posté par
Witaekre : Charge piégée 22-06-21 à 19:34

Merci je pense avoir compris votre raisonnement.
Je poursuis donc :

Pour x<0 :


On a \vec{E} = -\vec{grad}V donc V(x) = \frac{\rho_0ax}{2\epsilon_0} +cste avec cste = 0 si V(x=0)=0
Donc Ep = \frac{\rho_0aqx}{2\epsilon_0}
\frac{\partial Ep}{\partial x} = 0 \Leftrightarrow x = 0 donc position d'équilibre en x = 0

\left[ \frac{\partial^2 Ep}{\partial x^2} \right]_0 = \frac{\rho_0aq}{2\epsilon_0} donc équilibre stable si q > 0 instable si q< 0

Pour x > 0 :

On a \vec{E} = -\vec{grad}V donc V(x) = \frac{-\rho_0a}{2\epsilon_0}(2aexp(-x/a)+x) +cste avec cste = \frac{\rho_0a^2}{\epsilon_0} si le potentiel est nul en x = 0

Ainsi \frac{\partial Ep}{\partial x} = 0 \Leftrightarrow \frac{-\rho_0aq}{2\epsilon_0}(-2exp(-x/a)+1) = 0  \Leftrightarrow 1 - 2exp(-x/a) = 0  \Leftrightarrow x = ln(2)a   

\left[ \frac{\partial^2 Ep}{\partial x^2} \right]_{ln(2)a} = \frac{\rho_0aq}{2\epsilon_0} donc pareil que pour x<0

Donc là je ne sais pas trop quoi conclure étant donné que l'abscice du point d'équilibre n'est pas la même selon si on prend le champ x> 0 ou x<0. Si ça avait été la cas on aurait eu un équilibre stable pour q >  0.

Peut-être est-ce dû à une erreur de calcul  ?
Merci !

Posté par
vanoisere : Charge piégée 22-06-21 à 20:56

Tu te compliques la vie. Une fois obtenues les expressions du potentiel dans les deux cas, tu traces la courbe V=f(x).
Sachant que Ep=q.V, tu étudies l'existence d'un équilibre  : existence d'un extremum de Ep puis la nature de cet équilibre suivant le signe de q. La courbe que je t'ai fournie devrait t'aider.
Je te rappelle :
*maximum local de Ep : équilibre instable ;
* minimum local de Ep : équilibre stable.
Il n'est pas non plus interdit de réfléchir au réalisme de la situation. En supposant o>0, ce que j'ai fait pour tracer la courbe : la distribution de charge étudiée précédemment est positive. A priori : une distribution de charge positive peut attirer puis stabiliser (donc piéger) une charge positive  ou une charge négative ???

Posté par
Witaekre : Charge piégée 23-06-21 à 23:15

Merci à vous je pense avoir tout compris. On a l'existence d'un maximum de potentiel donc un extremum d'énergie potentielle. Si q>0 la il s'agit d'un maximum l'équilibre est instable la charge n'est pas piégée. Si q<0 l'équilibre est stable et on a le piège de la particule. Dans le cas d'une distribution de charge négative <0 on aurait l'inverse !

Je vous remercie pour tout le temps que vous m'avez consacré malgré le fait que je n'ai pas toujours été hyper percutant !
Merci beaucoup et bonne continuation !

Posté par
vanoisere : Charge piégée 24-06-21 à 09:50

C'est bien cela ! Tu as bien compris maintenant !


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île
Mentions légales - Retrouvez cette page sur l'île de la physique - chimie
© digiSchool 2025

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !