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Changement de référentiel

Posté par
v3x0 02-12-17 à 01:31

Bonjour à tous.
En ce moment, j'étudie les changement de référentiel, et je fais un exercice: "Pourquoi la Terre ne tombe pas sur le Soleil?"

Je vous donne l'énoncé:

On souhaite étudier le mouvement de la Terre par rapport au Soleil. Pour cela, on considère galiléen le référentiel héliocentrique, de centre O (le centre de gravité du soleil), et d'axes fixes \mathcal{R}(O,ex,ey,ez). Le référentiel terrestre \mathcal{R_{T}} est en rotation autour du soleil, selon le vecteur \Omega(\mathcal{R_{T}/R})=\omegaez; avec \omega=2\pi/T; et T étant la période de révolution.

On s'intéresse à la dynamique du centre de la Terre, noté C. Le centre de la Terre est fixe dans \mathcal{R_{T}} défini par \mathcal{R_{T}}(C,er, e\theta, ez).

1. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à la Terre, dans le référentiel héliocentrique. Quelle fameuse loi en déduit-on?

2. Pourquoi ne peut-on pas appliquer la relation fondamentale de la dynamique à la Terre, dans le référentiel terrestre. Les lois de la physique sont-elles modifiées d'un référentiel à l'autre? Argumenter à l'aide de calcul.


Pour la question 1. j'ai simplement dit que la force qui entre en jeu est la gravitation: F=-G\frac{M_{S}M_{T}}{r^2} \mathbf{er}

ainsi, comme on à le rayon constant (pas sur, mais d'après ce que j'ai compris, on se place dans l'approximation des trajectoires circulaires):

a = -r\dot{\theta} \mathbf{er} + r\ddot{\theta} \mathbf{e\theta}

Ainsi, on à M_{T}a = F=-G\frac{M_{S}M_{T}}{r^2} \mathbf{er}

et on obtient alors: \begin{cases} r\dot{\theta}^2 = \frac{GM_{}s}{r^2} \\ r\ddot{\theta} = 0 \end{cases}


donc \begin{cases} \omega^2=\frac{GM_{s}}{r^3} \\ \dot{\theta}=\omega = cste \end{cases}

et comme \omega=2\pi/T

on obtient:
(\frac{2\pi }T})^2 = \frac{GM_{S}}{r^3}

ce qui est la 3ème loi de Kepler.


Mon problème vient du fait que je n'arrive pas encore à distinguer si j'ai appliqué le PFD dans R ou R_{T}, car j'ai utilisé la base de R_{T} pout traiter cette question qui demandait d'utiliser le référentiel héliocentrique R

Pour la question 2, je sais qu'on ne peut pas utiliser le PFD dans le référentiel terrestre ici, car il n'est pas galiléen. Pour justifier cela, je serait tenté de calculer les forces inertielles d'entrainement et de coriollis, mais à nouveau , je ne sais pas vraiment dans quelle base me placer. Par exemple, pour ac, je calculerai en utilisant: ac=2\Omegav_{R_{T}}, mais v_{R_{T}} vaut il r\dot{\theta} \mathbf{e\theta} ou alors 0 car la terre est fixe dans le référentiel terrestre?


Ou alors ai-je tout faux car on doit considérer une trajectoire elliptique?


Je vous remercie par avance de vos réponse

Posté par
diracre : Changement de référentiel 02-12-17 à 08:24

Hello

hum hum ... c'est un peu "fouillis", non? Je te suggère:

1) de revoir ce que sont les référentiels héliocentrique (la Terre tourne autour du Soleil et tourne autour d'elle même), géocentrique (la Terre ne tourne plus qu'autour d'elle même) et terrestre (la Terre ne bouge plus du tout)

2) de revoir les notions de repère et de système de coordonnées. Notions qui sont différentes de celle de référentiel. L'exemple du repère de Frenet illustre très bien ce distinguo: c'est un repère "mobile" à l'intérieur d'un référentiel "fixe par définition"

3) de clarifier le fait que l'on considère a priori ou pas la trajectoire circulaire ou pas: ce sont l'énoncé ou bien les consignes de ton prof qui te guident. Si pas clair, recopie peut être plus complètement l'énoncé?

4) Pour la question 1, de justifier que la trajectoire est plane avant d'utiliser un système de coordonnées polaires ou bien une base de Frenet
d'écrire alors l'accélération sous sa forme complète et de la simplifier si tu es autorisé à considérer la trajectoire comme circulaire

5) de revoir la 3eme Loi de Kepler qui dit un peu plus que (\frac{2\pi }T})^2 = \frac{GM_{S}}{r^3}

Pour la 2nde question, utiliser un référentiel terrestre  (Terre fixe) pour étudier la trajectoire de C ne fait pas de sens avant même de se demander si l'on doit adapter la RFD au cas d'un référentiel non galiléen.

Posté par
v3x0re : Changement de référentiel 03-12-17 à 10:01

Bonjour. Merci de votre réponse.  J'ai recopié l'énoncé, mot pour mot, et étant en vacance, mon prof ne m'a donné aucune information concernant cet exercice.
Je vous remercie par ailleurs d'avoir soulevé ces points capitaux. Je pense m'être mal exprimé dans ce que j'ai marqué plus haut en disant "j'ai utilisé la base de ...".

Pour la justification du mouvement plan, est-ce que dire que la Terre tourne autour du Soleil selon le vecteur \Omega = \omegaez suffit-il ?

Mon problème se situe surtout ici:
Est-ce que a = (\ddot{r}-\dot{r}\dot{\theta}^2) \mathbf{er} + (r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\mathbf{e\theta} (sans simplification du coup)

est l'accélération dans \mathcal{R} ou dans \mathcal{R_T}?

Je serais tenté de dire dans le 2ème car on utilise sa base, mais je pense plutôt que le défini une autre base, dans R cette fois, qui n'est pas fixe et qui suit le mouvement de la Terre.
De plus, quand on utilise le PFD appliqué à la Terre dans R, doit on considérer les force de Coriolis et d'entrainement? Effectivement, on ne s'intéresse qu'on centre de la Terre, et on ne parle pas de la rotation de la Terre sur elle même dans l'énoncé.
Cela ne reviendrait-il donc pas à simplement étudier un point qui a une trajectoire circulaire/elliptique?

J'avoue être assez perdu dans cet exercice.

Posté par
diracre : Changement de référentiel 03-12-17 à 13:45

hum hum ... ne confonds tu toujours pas repère et référentiel?

Je reformule par une question: "Quel est le mouvement et C dans RT?"

A toi

Posté par
v3x0re : Changement de référentiel 04-12-17 à 00:57

Et bien, C est fixe dans RT non?

Posté par
v3x0re : Changement de référentiel 04-12-17 à 11:38

Par contre, si on défini une base, polaire ou de Frenet , dans R qui suit le point C, alors dans R, il a un mouvement circulaire (ou elliptique du coup)
C'est bien cela?

Posté par
diracre : Changement de référentiel 04-12-17 à 12:00

Bon. J'espère que tu détectes une contradiction entre les 2 propositions suivantes:

- C est fixe dans RT
- L'accélération de C dans RT est a = ...

Applique rigoureusement une démarche qui utilise le contenu du cours:

Dans la question 1) on te demande de te placer dans le référentiel héliocentrique:

- origine: centre de masse du Soleil
- 3 xes fixes

Ce référentiel est galiléen. On peut donc y appliquer la RFD sans y faire intervenir les forces d'inertie.

Etablissons tout d'abord que le mouvement est plan:

\vec{M}_{\vec{F}/S} = \vec{0}  (force centrale)

Donc   \vec{L}_{S/C} = m_T\vec{SC} \wedge \vec{v}_C= \vec{Cste}

Le centre de la Terre reste dans un même plan lors de sa trajectoire

On réduit donc le repère d'étude à un plan d'origine S. On le munit de coordonnées polaires (tu peux également refaire l'exercice en utilisant le repère mobile de Frenet)

La relation fondamentale de la dynamique demandée par l'énoncé s'écrit:

\vec{F} = -\mathcal{G}\frac{m_Tm_S}{r^2}\vec{e_r}= m_T\vec{\gamma} = m_T [(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\vec{e_r} + (2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\vec{e_{\theta}}]

L'énoncé te dit quelque part (vérifie tout de même) que la trajectoire peut être considérée comme circulaire (ce qui est à peut près le cas)

L'équation se simplifie en:

-\mathcal{G}\frac{m_S}{r^2}\vec{e_r}= [-r\dot{\theta}^2\vec{e_r} + r\ddot{\theta}\vec{e_{\theta}}]

Ce qui mène à  \ddot{\theta}=0  (porte ouverte enfoncée) soit \dot{\theta} = Cste

Soit alors T la période de révolution \frac{1}{T} = \frac{\dot{\theta}}{2\pi}

Donc

\mathcal{G}\frac{m_S}{r^2} = r(\frac{2\pi}{T})^2

Donc

\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{ \mathcal{G}m_S}  =>3eme Loi de Kepler


Est ce plus clair?

Posté par
v3x0re : Changement de référentiel 04-12-17 à 12:27

Merci beaucoup, c'est vraiment plus clair.
Mais du coup, quelle est l'utilité de préciser que la Terre tourne autour du Soleil selon le vecteur \Omerga?
Est-ce utile dans la seconde question (car il est demandé de justifier avec des calculs)

Posté par
diracre : Changement de référentiel 04-12-17 à 13:04

La proposition: "le référentiel RT tourne autour du Soleil .... selon le vecteur \omega\vec{e}_z"  sert à introduire T.

Tu pourrais dans la démonstration remplacer \dot{\theta} par \omega si tu le souhaites!

La encore, la rédaction dépend un peu de la gestion de l'hypothèse: trajectoire circulaire (uniforme) qui fait que tu écris les expressions générales qui simplifie, ou bien pars d'emblée sur un rayon fixe et une vitesse de rotation (omega) fixe.

J'ai "estimé" plus judicieux dans ton cas, de partir des expressions générales puis de les simplifier (car à ton niveau tu seras sans doute/peut être amené à traiter des trajectoires non circulaires)

Concernant la question 2):

La relation "somme des forces extérieures = m x a" ne s'applique que dans un référentiel galiléen

Ceci étant, connaissant les relations de passage d'un repère à un autre pour la variable cinématique accélération, le principe fondamental de la dynamique pourra être formulé dans un référentiel   non galiléen en ajoutant aux forces extérieures des "pseudo forces" rendant compte des accélérations d'entrainement et de coriolis: la première rendant compte de l'effet du mouvement du référentiel mobile relativement au référentiel fixe ("l'entrainement") la seconde rendant compte de l'effet du mouvement  du système à l'intérieur du référentiel mobile.

Tu essaies d'établir les expressions qui vont bien?

Posté par
v3x0re : Changement de référentiel 04-12-17 à 14:27

A vrai dire, je ne comprend pas vraiment la question 2)
Quand on dit « appliquer la PFD à la Terre dans le référentiel terrestre, il faut trouver l'acceleration de la Terre par rapport au référentiel terrestre? Cela me semble assez absurde...

Posté par
diracre : Changement de référentiel 04-12-17 à 16:11

Absurde est sans doute un peu fort ... mais pas vraiment intéressant en effet:

Dans le référentiel terrestre C est immobile, donc pour pouvoir écrire le principe fondamentale de la dynamique il faut ajouter à la force d'attraction du Soleil (force réelle) les forces d'inerties

Donc m\vec{a}(C)_{/\mathcal{R}_T} = \vec{0} = \vec{F}_{grav} + \vec{F}_{inertie}

Avec   ... \vec{F}_{inertie} = -m\vec{a}(C)_{/\mathcal{R}_S}

Posté par
v3x0re : Changement de référentiel 05-12-17 à 00:29

Oui, du coup c'est ce que je pensais.. mais je persuadais que c'était faux car je n'y voyais pas vraiment l'intérêt
Et si je comprend bien,  \vec{F}_{inertie} c'est la force inertielle d'entrainement, car celle de coriolis est nulle, par le fait que C soit fixe dans \mathcal{R}_{T}?

Posté par
diracre : Changement de référentiel 05-12-17 à 06:40

Oui. La force de Coriolis est nulle de ce fait. Et parmi les composantes de la force d'inertie d'entrainement, seule celle correspondant à l'accélération de l'origine (C) dans le référentiel Rs est non nulle (du fait justement que C est l'origine)

Posté par
v3x0re : Changement de référentiel 08-12-17 à 06:37

Je l'ai enfin compris et fait, merci à vous !


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