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Changement de référentiel

Posté par
mousse42
13-01-17 à 01:43

Bonsoir,

Voici un problème que je trouve ardu et voici mes réponses.( Je n'arrive pas à placer l'image en tête de page) vous trouverez donc l'énoncé en bas de la page.

Question 1
Pour la suite du problème je vais poser  ||\vec{OM}||=r  et  ||\vec{O'M}||=r' et que le mobile se déplace à une vitesse V_v sur l'axe verticale

Position de M dans le repère absolue

\vec{OM} = \vec{OO'}+\vec{O'M}= (r\cos\theta _x+r\sin\theta _y)+ (0_x+(V_vt-r\sin\theta)_y)

\vec{OM} = (r\cos\theta) \vec{i} + V_vt \vec{j}

La vitesse dans \mathcal{R}

(v_m)_{\mathcal{R}}=-r\dot{\theta}\sin \theta \vec{i} + V_v \vec{j}

Mon problème est que je ne sais pas si je dois tenir compte du déplacement du mobile sur l'axe vertical


Question 2

\vec{i'}, \vec{j'} en fonction de \vec{i}, \vec{j}

\vec{i'} = \cos \theta \vec{i} +\sin \theta \vec{j}
\vec{j'} = -\sin \theta \vec{i} +\cos \theta \vec{j}

Position du point M par rapport à \mathcal{R'}

\vec{O'M} =r'\cos\theta \vec{i'} +r'\sin{\theta} \vec{j'}

Vitesse du point M par rapport à \mathcal{R'}

(v_m)_{\mathcal{R'}}=-r'\dot{\theta}\sin \theta \vec{i'} + r'\dot{\theta}\cos \theta \vec{j'}

Là je suis un peu perdu, et je n'ai pas l'impression, que les expressions soient justes ou alors les expressions de la position et de la vitesse sont mal posées.


Pouvez-vous m'apporter de l'aide s'il vous plait

Je vous remercie
Mousse

Changement de référentiel

Posté par
dirac
re : Changement de référentiel 13-01-17 à 08:57

Hello

Il y a du bien dans ce que tu écris et puis il y a un peu de confusion je crois ...

Citation :
||\vec{O'M}||=r' et que le mobile se déplace à une vitesse V_v sur l'axe verticale


Donc cela revient à définir r' et Vv  comme:

\vec{O'M} =r'.\vec{j}

et \dot{r'} = V_v

Tu écris

\vec{OM} = \vec{OO'}+\vec{O'M} Parfait !

Donc va "droit au but":

\vec{OO'} = rcos\theta \vec{i}+rsin\theta \vec{j}}
\vec{O'M} =r'.\vec{j}

Donc \vec{V_{M/\mathcal{R} }} = -rsin\theta\dot{\theta} \vec{i}+(rcos\theta\dot{\theta} +  V_v)\vec{j}}

Citation :
\vec{O'M} =r'\cos\theta \vec{i'} +r'\sin{\theta} \vec{j'}


hum, pas tout à fait  ...

On sait que \vec{O'M} =r'.\vec{j}

et que, si pour passer de \mathcal{R}   à   \mathcal{R'}   on tourne de +\theta alors

pour passer de \mathcal{R'}   à   \mathcal{R}   on tourne de -\theta

Tu reprends la main à partir de là?

Posté par
mousse42
re : Changement de référentiel 13-01-17 à 10:52

Bonjour Dirac et merci

Je reprends le relais à partir de là, pas de problème.

Par contre cee sera seulement en fin d'après midi vers 17h. J'ai un programme chargé.

Merci et à trés bientôt.

Posté par
mousse42
re : Changement de référentiel 14-01-17 à 02:32

Bonsoir,

Voici mes corrections :

I) EXPRESSION DE M DANS LE REPERE ABSOLUE ET VITESSE ASSOCIEE :

\vec{OM} = \vec{OO'}+\vec{O'M} = (r\cos\theta) \vec{i} + (r\sin\theta +V_vt) \vec{j}

\mathcal{V}_{M/R}=-r\dot{\theta}\sin \theta \vec{i} +(r\dot{\theta} \cos \theta + V_v) \vec{j}


II) EXPRESSION de \vec{i'}, \vec{j'} EN FONCTION DE  \vec{i}, \vec{j}

\vec{i'} = \cos \theta \vec{i} +\sin \theta \vec{j} \qquad \vec{j'} = -\sin \theta \vec{i} +\cos \theta \vec{j}


III) EXPRESSION DE M DANS LE REPERE MOBILE ET VITESSE ASSOCIEE :

\vec{j}\to \vec{j'} \implies +\theta
 \vec{O'M}  = V_vt \vec{j}      or      $\left \lbrace \begin{array}{r @{  } l} \vec{i'} &= \cos \theta \vec{i} +\sin \theta \vec{j}  \\ \vec{j'} &= -\sin \theta \vec{i} +\cos \theta \vec{j} \end{array} \right. \implies $\left \lbrace \begin{array}{r @{  } l} \vec{i} &= \cos \theta \vec{i'} -\sin \theta \vec{j'}  \\ \vec{j} &= \sin \theta \vec{i'} +\cos \theta \vec{j'} \end{array} \right.

 \vec{O'M}  = V_vt \vec{j}=V_vt\left (\sin\theta \vec{i'} + \cos \theta \vec{j'} \right)

\mathcal{V}_{M/R'}=\left(V_vt \vec{j} \right )'=V_v \vec{j} + V_v \dot{\vec{j}} =V_v \vec{j} =V_v\left (\sin\theta \vec{i'} + \cos \theta \vec{j'} \right) puisque \dot{\vec{j} }= \vec{0}

III) EXPRESSION DE LA VITESSE D'ENTRAÎNEMENT :

\mathcal{V}_{O'/R} = \dot{\vec{OO'}}=-r\dot{\theta}\sin \theta \vec{i}+r\dot{\theta}\cos \theta \vec{j}

IV) CONCLUSION:

\mathcal{V}_{M/R}=\underbrace{-r\dot{\theta}\sin \theta \vec{i} +r\dot{\theta} \cos \theta \vec{j}}_{\mathcal{V}_{O'/R} } +\underbrace{V_v \vec{j}}_{\mathcal{V}_{M/R'}}

Je pense que c'est bon....

Posté par
dirac
re : Changement de référentiel 14-01-17 à 09:48

Pas tout à fait ...

Je te propose de partir de:

 \vec{O'M}  = r'(\sin\theta \vec{i'} + \cos \theta \vec{j'} )

Et de dériver pour trouver \vec{V}_{M/\mathcal{R'} }

Je te rappelle l'expression usuelle de la composition des vitesses:

  \vec{V}_{M/\mathcal{R} } = \vec{V}_{M/\mathcal{R'} } + \underbrace{\vec{V}_{O'/\mathcal{R} } +\vec{\omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R} }\wedge \vec{O'M}}_{V_e}

PS:
1) tu auras noté que je ne pose pas  r' = V_v.t, il n'est dit nul par dans l'énoncé que la vitesse le long de la droite était constante. Et d'ailleurs cela ne change pas le calcul
2) C'est chouette de lire du Latex aussi bien écrit

Posté par
dirac
re : Changement de référentiel 14-01-17 à 10:04

Citation :
Je te propose de partir de ...


Bien sûr si tu cales, la dépanneuse ne sera pas très loin

Posté par
mousse42
re : Changement de référentiel 14-01-17 à 12:20

Bonjour dirac,

Merci dirac, pour tes commentaires. Pur le latex, je me balade de temps en temps sur le forum iles des maths

Je voulais dériver en premier  \vec{O'M}  =V_vt\left (\sin\theta \vec{i'} + \cos \theta \vec{j'} \right) mais comme j'ai un vecteur radial et orthoradial à dériver, (et qu'il était tard   Je me suis dit pourquoi ne pas dériver  \vec{O'M}  = V_vt \vec{j} et ensuite effectuer une rotation de +\theta

Peux-tu m'expliquer pourquoi on ne peut pas procéder ainsi??

Je viens de me lever, donne moi une heure et ensuite je dérive :

\vec{O'M}  =V_vt\left (\sin\theta \vec{i'} + \cos \theta \vec{j'} \right)

Posté par
mousse42
re : Changement de référentiel 14-01-17 à 13:39

Si je pars de  :

\vec{O'M}  = r'(\sin\theta \vec{i'} + \cos \theta \vec{j'} )   et que je dérive par rapport à \theta  ça me donne :

\dfrac{d}{d\theta}(\vec{O'M} ) =\left ( \dot{r'}\sin\theta + r'\cos\theta \right) \vec{i'} + \left ( \dot{r'}\cos\theta - r'\sin\theta \right) \vec{j'}

Comme r' ne dépend pas de \theta on a : \dfrac{d}{d\theta}(\vec{O'M} ) = r'\cos\theta\vec{i'}  - r'\sin\theta \vec{j'}

Posté par
mousse42
re : Changement de référentiel 14-01-17 à 14:16

Si je veux la dérivé par rapport au temps puisque :

\dfrac{d}{dt}(\vec{O'M} ) = \dfrac{\dfrac{d}{d\theta}(\vec{O'M})}{dt}  


Suffit de dériver \dfrac{d}{d\theta}(\vec{O'M} ) = r'\cos\theta\vec{i'}  - r'\sin\theta \vec{j'}

Et là je me retrouve

\dfrac{d}{dt}(\vec{O'M} ) =\dot{r'} \cos \theta \vec{i'}-\dot{r'} \sin \theta \vec{i'} + r'\left(-\dot{\theta} \sin \theta \vec{i'}+\cos \theta \dot{\vec{i'}}-\dot{\theta} \cos \theta \vec{j'}-\sin \theta \dot{\vec{j'}} \right)

Même en sachant que \dot{\vec{i'}}=\dot{\theta}}\vec{j'}  et en ayant dérivé \vec{j'}, je suis bloqué, et complétement perdu...

Posté par
dirac
re : Changement de référentiel 14-01-17 à 14:40

Veux tu encore te reposer un petit peu? Tu en as  visiblement besoin ... (non, là je te "chambre" un petit peu ... trop sans doute )

Citation :
je dérive par rapport à \theta


  euh pour la vitesse il faut dériver par rapport au temps  

Citation :
Comme r' ne dépend pas de \theta


Une chose est sûr  r' dépend de t      

Donc,  nous avions  \vec{O'M}  = r'(\sin\theta \vec{i'} + \cos \theta \vec{j'} )  

Ce qui donne (je vais quand même travailler un peu)

 \vec{V}_{M/\mathcal{R'} }  = \frac{d\vec{O'M} }{dt} =  V_v(\sin\theta \vec{i'} + \cos \theta \vec{j'} ) + r'\dot{\theta}(\cos\theta \vec{i'} - \sin \theta \vec{j'} )

Soit

 \vec{V}_{M/\mathcal{R'} }  = (V_v\sin\theta + r'\dot{\theta}\cos\theta)\vec{i'} +   (V_v\cos\theta - r'\dot{\theta}\sin\theta)\vec{j'}

Tu reprends la mains arrivé là?

Au fait:

Citation :
Peux-tu m'expliquer pourquoi on ne peut pas procéder ainsi??


Parce que dans le référentiel R',   est mobile, donc tu n'avais pas le droit d'écrire

\dot{\vec{j} }= \vec{0}  

Allez tu y es presque!!!  et l'expression tant convoitée  

  \vec{V}_{M/\mathcal{R} } = \vec{V}_{M/\mathcal{R'} } + \underbrace{\vec{V}_{O'/\mathcal{R} } +\vec{\omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R} }\wedge \vec{O'M}}_{V_e}

Va tomber toute seule  

Posté par
mousse42
re : Changement de référentiel 14-01-17 à 14:58

Oui, tu as raison, je vais faire une pause. j'aime pas trop tout ce qui tourne, ça me donne le vertige .

Mais avant, lorsqu'on dérive par rapport au temps une expression qui est fonction de \vec{i'}, \vec{j'}, ne faut-il pas dériver ces vecteurs.

par exemple \left (\alpha\vec{i'} \right)'= \dot{\alpha}\vec{i}+\alpha \dot{\vec{i}}

Ou alors, comme c'est une vitesse dans le repère R' , les vecteurs \vec{i'}, \vec{j'} sont fixes. Est-ce la raison?

Merci pour ton aide

Posté par
dirac
re : Changement de référentiel 14-01-17 à 15:03

FIAT LUX      TU AS TOUT COMPRIS!!!!

R' est un REFERENTIEL et pas seulement un repère ...

Bon tu te reposes 5 mn et tu termines?

Posté par
mousse42
re : Changement de référentiel 14-01-17 à 15:24

ok, merci, donne moi plus de 5 minutes et je termine

Posté par
mousse42
re : Changement de référentiel 14-01-17 à 15:58

Juste une autre question :


  \vec{V}_{M/\mathcal{R} } = \vec{V}_{M/\mathcal{R'} } + \underbrace{\vec{V}_{O'/\mathcal{R} } +\vec{\omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R} }\wedge \vec{O'M}}_{V_e}

puisque \vec{V}_{M/\mathcal{R'} } est fonction \vec{i'}, \vec{j'}, et que \vec{V_e} est fonction de \vec{i}, \vec{j}

J'imagine qu'une rotation de -\theta s'impose pour l'expression de  \vec{V}_{M/\mathcal{R'} }

Sinon, merci dirac pour ton aide, je vais reprendre demain,relire tes remarques , revoir tout l'exercice au complet. Trier ce qui est juste de ce qui est faux, le rédiger de nouveau. Et enfin te proposer une solution qui je l'espère sera juste. Car actuellement je m'emmêle les pinceaux.

Merci beaucoup et à très bientôt

Posté par
dirac
re : Changement de référentiel 15-01-17 à 16:01

Bon, histoire d'avancer le sujet je résume ce que nous avons établi:

1)  \vec{OM} = \vec{OO'}+\vec{O'M} = (r\cos\theta) \vec{i} + (r\sin\theta +r') \vec{j}

Donc en dérivant par rapport au temps dans le référentiel  \mathcal{R}  où les vecteurs \vec{i} et   \vec{j}  sont fixes:

\vec{V}_{M/\mathcal{R} } = -rsin\theta\dot{\theta} \vec{i}+(rcos\theta\dot{\theta} +  V_v)\vec{j}}


2)  \vec{O'M}  = r'\vec{j} =  r'(\sin\theta \vec{i'} + \cos \theta \vec{j'} )  

Donc en dérivant par rapport au temps dans le référentiel  \mathcal{R'}  où les vecteurs \vec{i'} et   \vec{j'}  sont fixes:

 \vec{V}_{M/\mathcal{R'} }  = (V_v\sin\theta + r'\dot{\theta}\cos\theta)\vec{i'} +   (V_v\cos\theta - r'\dot{\theta}\sin\theta)\vec{j'}


3) Il nous reste à exprimer le vecteur vitesse d'entrainement  \vec{V}_e  tel que:

 \vec{V}_{M/\mathcal{R} }  =   \vec{V}_{M/\mathcal{R'} }  +  \vec{V}_e

Et enfin nous souhaitons valider notre calcul par la comparaison du résultat avec la "formule":

  \vec{V}_{M/\mathcal{R} } = \vec{V}_{M/\mathcal{R'} } + \vec{V}_{O'/\mathcal{R} } +\vec{\omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R} }\wedge \vec{O'M}  

Posté par
mousse42
re : Changement de référentiel 15-01-17 à 18:09

Bonjour dirac et excuse moi pour le contre temps

 \vec{V}_{M/\mathcal{R'} }  = (V_v\sin\theta + r'\dot{\theta}\cos\theta)\vec{i'} +   (V_v\cos\theta - r'\dot{\theta}\sin\theta)\vec{j'}  = r'\dot{\theta} \vec{i}+V_v\vec{j}
 \\

  \vec{V_e}= \vec{V}_{M/\mathcal{R} } -\vec{V}_{M/\mathcal{R'} } = -r\dot{\theta} \sin\theta\vec{i}+(r\dot{\theta}\cos\theta +  V_v)\vec{j}}  -  \left (r'\dot{\theta} \vec{i}+V_v\vec{j} \right)

\vec{V_e}=  \left(-r\dot{\theta} \sin\theta-r'\dot{\theta}\right) \vec{i} +r\dot{\theta}\cos\theta \vec{j}

Citation :


Et enfin nous souhaitons valider notre calcul par la comparaison du résultat avec la "formule":

  \vec{V}_{M/\mathcal{R} } = \vec{V}_{M/\mathcal{R'} } + \vec{V}_{O'/\mathcal{R} } +\vec{\omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R} }\wedge \vec{O'M}  


là, il faut que je bosse mon cours, car il y a un produit vectoriel qui me donnera certainement un vecteur hors du plan, et ça je ne comprends pas trop pourquoi??

Je n'ai absolument pas le temps d'aller plus loin maintenant, j'ai pris trop de retard sur d'autres matières.

Merci pour ton aide, je vais revenir c'est sûr, mais je dois avancer sur autre chose

Merci dirac

Posté par
dirac
re : Changement de référentiel 15-01-17 à 18:57

Pas de soucis ... c'est TON sujet

Je crois que tu as compris l'essentiel: dans R' les vecteurs ' et ' sont invariants

Lorsque tu auras revu ton cours sur la représentation vectorielle de la rotation, le produit vectoriel ne te poseras aucun problème, j'en suis certain.

Juste, le dernier point "sympa" sera de noter que:

\vec{OO'} = r.\vec{i}'

Donc    \vec{V}_{O'/\mathcal{R} } = r.\frac{d\vec{i}'}{dt} = r\dot{\theta}\vec{j}'

Tu vois donc que:
-  dans  \mathcal{R} le vecteur  \vec{i}' est mobile, donc "on le dérive"
- la dérivation / temps du repère en rotation revient à une rotation de /2  + une multiplication scalaire par la vitesse angulaire

Posté par
mousse42
re : Changement de référentiel 15-01-17 à 19:55

Merci dirac, c'est super sympa, je vais relire mon cours et ensuite reprendre tout l'exercice.

à très bientôt

Posté par
mousse42
re : Changement de référentiel 22-01-17 à 15:56

Bonjour,

Je reviens sur l'expression   \red \boxed{ \vec{V}_{M/\mathcal{R} } = \vec{V}_{M/\mathcal{R'} } + \vec{V}_{O'/\mathcal{R} } +\vec{\omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R} }\wedge \vec{O'M} }

Quelle est la différence entre ce vecteur : \blue \vec{\omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R} }    et celui-ci :    \blue \vec{V}_{O'/\mathcal{R} }

J'ai fais une recherche sur wikipédia, et le premier est un vecteur vitesse angulaire.
et le second est le vecteur vitesse appliqué au point O', ce qui revient presque au même.

Suis-je dans le vrai et y-a-t-il un rapport de \dfrac{1}{R} entre les deux.

\vec{\omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R} }=\dfrac{1}{R} \vec{V}_{O'/\mathcal{R} }

Merci mousse

Posté par
dirac
re : Changement de référentiel 22-01-17 à 18:35

Hello

Citation :
Suis-je dans le vrai et y-a-t-il un rapport de \dfrac{1}{R} entre les deux.




Un exemple peut être pour t'en convaincre? Dans le dessin ci dessous

O' a dans R' un mouvement rectiligne le long de Ox

Et R' tourne par rapport à R le long de l'axe O'z' (perpendiculaire au plan de l'écran)

C'est bon?

Changement de référentiel

Posté par
dirac
re : Changement de référentiel 23-01-17 à 08:50

Hello Mousse,

Et pour compléter ma réponse d'hier soir (je n'avais plus en tête l'historique du sujet ...),

en imaginant que (O', i', j', k') est un cube dont O' est un sommet, tu peux je pense te représenter que le mouvement de ce cube dans l'espace est la composition de 2 mouvements:

- un mouvement rectiligne le long de la droite D
- un mouvement de rotation autour d'un axe passant par O' et perpendiculaire au plan

le premier peut être décrit par le mouvement de O'
le second par la rotation de R' (i',j' ici) dans R (i,j ici)

C'est plus clair?

Posté par
mousse42
re : Changement de référentiel 23-01-17 à 12:32

Merci, oui je pense.



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