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Changement d'entropie dans un câble de caoutchouc

Posté par
nexide 22-10-18 à 02:52

Bonjour,

Un câble de caoutchouc de forme cylindrique a une section (supposée constante) s. Lorsqu'il ne subit aucune force, sa longueur à vide est $l_1$ . On tire le câble à une de ses extrémités avec une force extérieure $f_0 > 0$ .

Le câble exerce en retour une tension $f > 0$ avec $f = f(l, T)$ , où $l$ est sa longueur et $T$ sa température.

En posant $\sigma = f / s \text { et } \lambda = \ell / \ell _ { 1 } > 1$ , on a : $\sigma = a T \left( \lambda - \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } \right)$

où $a$ est une constante. À l'équilibre, $f=f_0$ .

On définit les coefficients calorimétriques du câble dans les variables (T;l) en écrivant la différentielle
de son entropie: $T \mathrm { d } S = C \mathrm { d } T + \phi \mathrm { d } \ell$        et

$\phi = - T \left( \frac { \partial f } { \partial T } \right) _ { \ell }$

la capacité calorifique $C$ est une constante, $C$ et l'énergie interne $U$ ne dépendent que de la température.
On fait passer réversiblement la longueur du câble de $l_1$   à   $2l_1$ à température constante $T_1$ .

1-Calculer le travail et la chaleur mis en jeu lorsqu'on fait passer réversiblement la longueur du câble
de $\ell _ { 1 } \text { a } \ell = 2 \ell _ { 1 }$ à température constante.

$W=\int_{l_1}^{2l_1}f dl$ et $Q=0+\int_{l_1}^{2l_1}\phi dl$

Puis le câble est ramené adiabatiquement à sa longueur à vide $l_1$ de deux manières différentes :

2-
a)  de manière réversible : quelle est sa température finale $T_2$ ?

b) de manière brutale, en supprimant la force de traction : quelle est sa température finale, quelle
est la variation d'entropie ? À quel processus d'un gaz cette transformation est-elle analogue ?

Pour 2- a) j'utilise que $TdS$   est nul et on a:

$-C(T-T_2)=\int_{2l_1}^{l_1}\phi dl$

Pour 2-b) je pense que $T_2$ est identique à $T_2$ de a) mais j'ai du mal pour trouver l'entropie serait-ce

$S=\int_{2l_1}^{l_1}\frac{\phi}{T_2} dl$ ?

Merci.

Posté par re : Changement d'entropie dans un câble de caoutchouc 22-10-18 à 14:02

Bonjour
D'accord avec tout ce que tu as fait sauf 2b).
L'idée est dans ce cas d'exprimer U de deux façons différentes :
U=C.T
U=W+Q
Par hypothèse : Q=0 ; que vaut W sachant que la force de traction est supprimée ? ...
Ensuite, pour S, il faut utiliser le fait que S est une fonction d'état : tu peux calculer S en imaginant un chemin fictif réversible allant de l'état initial réel à l'état final réel.

Posté par re : Changement d'entropie dans un câble de caoutchouc 22-10-18 à 18:03

Merci pour ces précisions .

Pour 2b)

$U=W+Q=0+0=C\Delta T$ donc ne $T$ change pas non ?

$\Delta S = C\Delta T+\int _ { 2 l _ { 1 } } ^ { l _ { 1 } } \frac { \phi } { T _ { 2 } } d l=\int _ { 2 l _ { 1 } } ^ { l _ { 1 } } \frac { \phi } { T _ { 2 } } d l$ si j'ai compris vos remarques.

Pour la dernière question est-ce similaire à une détente de Joule-Gay Lussac comme $\Delta U=0$ ?

Posté par re : Changement d'entropie dans un câble de caoutchouc 22-10-18 à 18:33

D'accord avec toi sur deux points :
- U=0 donc T=0
- l'analogie avec la détente de Joule et Gay Lussac est très pertinente.
Pas d'accord avec toi sur la variation d'entropie. Pour passer de l'état initial (T₁, 2l₁) à l'état final (T₁,l₁), tu peux imaginer une évolution fictive réversible isotherme de l'état initial à l'état final pour calculer la variation d'entropie. Le long de ce chemin fictif réversible :

$dS=\frac{1}{T_{1}}\cdot\phi.dl$
Il suffit d'intégrer de l=2l₁ à l=l₁
Puisque l'évolution réelle est adiabatique irréversible, le second principe impose :
S > 0.

Posté par re : Changement d'entropie dans un câble de caoutchouc 22-10-18 à 20:00

Merci de votre réponse mais comme $T_2=T_1$

Citation :
Le long de ce chemin fictif réversible $: d S = \frac { 1 } { T _ { 1 } } \cdot \phi . d l$
Il suffit d'intégrer de l=2l1 à l=l1

Votre remarque amène à mon message précédant $\Delta S= \int _ { 2 l _ { 1 } } ^ { l _ { 1 } } \frac { \phi } { T _ { 2 } } d l=\frac {1}{ T _ { 1 }} \int _ { 2 l _ { 1 } } ^ { l _ { 1 } }\phi d l$

Nous avons bien un gain d' entropie.

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