Niveau licence

Champs Newtonien

Posté par
v3x0 11-12-17 à 14:27

Bonjour à tous!
Je fais un exercice sur les mouvement dans les champs en 1/r²

Je bloque sur un petit détail:

Soit O un point fixe du référentiel d'étude galiléen R. On note r la distance à O d'un point M quelconque de l'espace et on pose: $\vec{OM} = r\vec{u}$

Une particule assimilée à un point matériel de masse m est animée dans R d'une vitesse $\vec{v}$ . Elle subit en M la seule force suivante:

$\vec{f} = -\frac{k}{r^2} \vec{u}$ ( k constante positive)

On utilise une base cylindrique ( $\vec{u};\vec{u_\theta};\vec{u_z}$ )avec $\vect{u}$ vecteur unitaire de $\vect{OM}$ .

On a: Ep(r)= $-\frac{k}{r}$

Donner l'expression de l'énergie mécanique E du point matériel. Montrer que c'est une constante du mouvement, en dérivant et en utilisant une expression donnée par le principe fondamental de la dynamique.

Ce que j'ai fais:

On sait que $E_m = \frac{1}{2}mv^2 -\frac{k}{r}$

et donc: $\frac{dE_m}{dt} = mav + \frac{k}{r^2}$

d'où $\frac{dE_m}{dt} = \frac{k}{r^2}(v-\dot{r})$ car $\frac{d}{dt}(-\frac{k}{r})= \frac{k\dot{r}}{r^2}$

Or, $v \neq \dot{r}$ , donc je ne vois pas pourquoi cela ferrait 0 ...

Quelqu'un pourrait m'expliquer mon erreur?
Merci beaucoup!

Posté par re : Champs Newtonien 11-12-17 à 14:48

Bonjour
Remarque préliminaire : compte tenue des symétries et des invariances de la situation, le système de coordonnées sphérique est sûrement le plus indiqué :

$\overrightarrow{OM}=r.\overrightarrow{u_{r}}$

Par définition de l'énergie potentielle, lorsque la résultante des forces est conservative :

$dE_{p}=-\delta W=-\overrightarrow{F}.\overrightarrow{d\left(OM\right)}$

$\frac{dE_{p}}{dt}=-\overrightarrow{F}.\frac{\overrightarrow{d\left(OM\right)}}{dt}=-\overrightarrow{F}.\overrightarrow{V_{(M)}}\quad;\text{ (puissance instantanée de la force)}$

$E_{c}=\frac{1}{2}m.\left(\overrightarrow{V_{(M)}}\right)^{2}$

$\frac{dE_{c}}{dt}=m.\overrightarrow{V_{(M)}}.\overrightarrow{a_{(M)}}$

Lorsque les forces appliquer à la masse m sont conservatives et de résultante $\overrightarrow{F}$ , la conservation de l'énergie mécanique s'écrit :

$\forall t\;:\;\frac{dE_{m}}{dt}=\frac{dE_{p}}{dt}+\frac{dE_{c}}{dt}=\overrightarrow{V(M)}\cdot\left[-\overrightarrow{F}+m.\overrightarrow{a_{(M)}}\right]=0$

Puisqu'au cours du mouvement, la vitesse n'est pas le vecteur nul à chaque instant... Je te laisse conclure. Le résultat est valide pour toute force conservative, en particulier pour la force gravitationnelle.

Posté par re : Champs Newtonien 11-12-17 à 18:47

Une remarque à propos de la ligne :

$\frac{dE_{p}}{dt}=-\overrightarrow{F}.\frac{\overrightarrow{d\left(OM\right)}}{dt}=-\overrightarrow{F}.\overrightarrow{V_{(M)}}\quad;\text{ (puissance instantanée de la force)}$
La formule est correcte mais le commentaire entre parenthèse est un peu ambigu : la puissance instantanée de la force est le produit scalaire $\overrightarrow{F}.\overrightarrow{V_{(M)}}$ et non son opposé mais j'imagine que tu sais cela !

Posté par re : Champs Newtonien 11-12-17 à 22:08

Effectivement, c'est très bien de cette manière, et je ne l'avais pas vu ainsi.

Cependant, dans la correction que l'on a faite avec mon prof, il dit lui même que $\vec{v} = \dot{r} \vec{u}$ et $\frac{k}{r^2} (\dot{r} - v)$ apparait explicitement...

Cela est t-il finalement correct, ou alors se serait-il trompé quelque part ?

Posté par re : Champs Newtonien 11-12-17 à 22:25

J'imagine que ton professeur s'est limité à l'étude d'un mouvement rectiligne, le point O appartenant à la trajectoire. Dans le cas général son raisonnement est faux .

Posté par re : Champs Newtonien 13-12-17 à 00:26

C'est ce qu'il me semblait, merci de confirmer ceci. Bonne journée.

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