Niveau licence

Champ magnétique radial

Posté par
pierre33 14-05-17 à 01:15

Bonjour,

j'ai fait un exo mais je n'ai pas la correction. J'aimerais si possible avoir une vérification, et de l'aide pour la question 3), mon résultat n'est pas cohérent.
Voilà l'énoncé :

Il règne en tout point M ( $\vec{OM}=\vec{r}$ ) un CM $\vec{B}=k\vec{r}/r^3$ . A t=0, on abandonne une petite charge q de masse m au point M0 avec une vitesse $\vec{v0}$ orthogonale à $\vec{OM0}$ .

1) Montrer que le module de la vitesse est constant.

$\delta W = 0 \Rightarrow \Delta Ec = 0 \Rightarrow v=cte$

2) Calculer $\vec{r}.\vec{v}$ et montrer que :

a) que ce produit croit linéairement avec le temps.

$(\vec{r}.\vec{v})'=v^2 \\ \vec{r}.\vec{v}=v^2*t$

b) que le carré de la distance de la charge au point 0 est une fonction linéaire du carré du temps.

$\int rdr=\int v^2*t dt \\r^2=v^2*t^2$

3) Montrer que cotan $\theta$ est une fonction linéaire du temps.

Là j'ai un soucis.
J'utilise $\vec{r}.\vec{v}=r*v*cos(\theta )$ , et j'arrive à $cotan(\theta) =\frac{v*t}{r*sin(\theta )}$ , donc pas linéaire.

4) Calculer $\theta$ à l'instant où r=2r0.

Je trouve $\frac{1}{sin(\theta )} = cotan(\theta )$ , pas possible.

Posté par re : Champ magnétique radial 14-05-17 à 09:00

Hello

Citation :
$\delta W = 0$

Tu peux le justifier?

Il me semblerait plus naturel de faire un calcul direct:

$\frac{d}{dt}(\vec{v}.\vec{v}) = 2\vec{v}.\vec{a} = 2\vec{v}.(q\vec{v}\wedge \vec{B}) = 0$

Citation :
$(\vec{r}.\vec{v})'=v^2 \\ \vec{r}.\vec{v}=v^2*t$

Le "prime" est un peu maladroit (je sais, je chipote)
Préciser pourquoi la constante d'intégration est nulle n'est pas inutile

Citation :
$\int rdr=\int v^2*t dt \\r^2=v^2*t^2$

Là, je ne comprends pas la démarche, mais c'est peut être parce qu'un calcul direct me semble trop approprié:

$\frac{d}{dt}(\vec{r}.\vec{r}) = 2\vec{r}.\vec{v} = 2v^2t$

Donc $r^2 = v^2t^2 + r_0$

Enfin, là où tu "coinces", il ne serait pas inutile que tu définisse l'angle

(il aurait pu s'agir de la 2nde coordonnée en représentation sphérique ou cylindrique

)

Mais bon tu écris   $\vec{r}.\vec{v} = rvcos\theta$
Donc on admet $\theta = \widehat{(\vec{r},\vec{v}})$

Alors $\vec{r}.\vec{v} = rvcos\theta=v^2t$ (d'après plus haut)

Donc $cos^2\theta = \frac{v^2t^2}{r^2}$

De plus, la trigo nous rappelle que:   $cotg^2\theta = \frac{cos^2\theta}{1-cos^2\theta}$

Tu devrais pouvoir poursuivre

donc:   $cotg^2\theta = \frac{v^2t^2}{r^2-v^2t^2} =  \frac{v^2t^2}{r_0^2}$

Posté par re : Champ magnétique radial 14-05-17 à 14:04

Bonjour dirac, bonjour pierre 33,
Juste une remarque sur le réalisme de ce problème. L'énoncé précise :

Citation :
Il règne en tout point M ( $\vec{OM}=\vec{r}$ ) un CM $\vec{B}=k\vec{r}/r^3$ .

Un tel champ magnétique en tout point de l'espace ne peut pas exister ! La propriété fondamentale du vecteur champ magnétique $\vec{B}$ est d'être à flux conservatif : le flux du vecteur $\vec{B}$ à travers toute surface fermée de l'espace où existe le champ magnétique doit être nul. Il est bien évident que, si on choisit comme surface une sphère de centre O et de rayon R quelconque, le flux du vecteur champ à travers cette sphère n'est pas nul...
remarque sans doute pas encore au programme de pierre33 : la divergence d'un tel vecteur champ est nulle. Un tel vecteur champ pourrait éventuellement exister dans des régions limitées de l'espace (entre les pôles d'un aimant à la géométrie particulière) mais l'énoncé précise bien : "en tout point de l'espace" et demande d'étudier le mouvement pour

quelconque...

Posté par re : Champ magnétique radial 14-05-17 à 15:02

Bonjour,

merci pour vos réponses.

Citation :
Tu peux le justifier?

Simplement car le CM ne travaille pas (vecteur vitesse colinéaire au déplacement).

Citation :
Le "prime" est un peu maladroit (je sais, je chipote)
Préciser pourquoi la constante d'intégration est nulle n'est pas inutile

Pour le prime autant pour moi, je voulais dire "dérivée par rapport au temps".
Constante nulle car OM0 et v orthogonaux à t=0.

Citation :
Donc $r^2 = v^2t^2 + r_0$

Oui, j'avais oublié de noter la constante, je m'en suis aperçu après. Par contre je pense que c'est $r0^2$ , sinon ce n'est pas homogène.

Citation :
Enfin, là où tu "coinces", il ne serait pas inutile que tu définisse l'angle
(il aurait pu s'agir de la 2nde coordonnée en représentation sphérique ou cylindrique )

Oui oublie de ma part désolé.

Citation :
$cotg^2\theta = \frac{cos^2\theta}{1-cos^2\theta}$

Merci je ne connaissais pas du tout cette formule.

Je trouve donc lorsque r=2r0, $cotan(\theta ) = 3\Rightarrow \theta \approx 18.4^{\circ}$ .

Conclusion ?

Je dirais que l'angle entre r et v diminue de plus en plus. Il va tendre vers 0, la particule va partir de plus en plus loin (?, je ne sais pas trop). C'est cohérent avec ce que l'on a trouvé avant.

Citation :
Juste une remarque sur le réalisme de ce problème.

J'ai pas écris le début de l'énoncé : "Dans l d'un point pôle O d'un aimant règne en tout point .....". J'ai recopié mot pour mot, je comprends pas trop la phrase.

Posté par re : Champ magnétique radial 14-05-17 à 15:16

Citation :
'ai recopié mot pour mot, je comprends pas trop la phrase.

L'important de mon message est cette phrase : "Un tel champ magnétique en tout point de l'espace ne peut pas exister !" ; on te demande de faire des calculs en supposant l'existence d'un champ magnétique qui ne peut pas exister physiquement, d'où le manque de réalisme... Cela dit, cet exercice a le mérite de te faire utiliser des techniques de raisonnement et de calcul qui te seront utiles à l'avenir...

Posté par re : Champ magnétique radial 14-05-17 à 15:22

D'accord merci

Posté par re : Champ magnétique radial 14-05-17 à 15:43

Hello

Merci Vanoise de ne pas laisser passer et de souligner qu'un exercice se devrait d'un minimum de réalisme: un modèle qui ne représente pas une réalité physique, au moins dans un certain domaine de validité n'en n'est pas un
Nous sommes sur l'lIe de Physique-Chimie! Je prendrai le temps de relever également désormais

Pierre33

Je tique toujours un (tout petit) peu sur:

Citation :
Simplement car le CM ne travaille pas (vecteur vitesse colinéaire au déplacement).

Le vecteur vitesse est toujours colinéaire au déplacement. Ce qui est spécifique ici c'est

que la force (magnétique) était perpendiculaire à la vitesse (au déplacement), d'où puissance nulle, d'où Ec conservée.

Citation :
Merci je ne connaissais pas du tout cette formule.

Moi non plus

Enfin, je me souvenais que cos2 + sin2 = 1

Posté par re : Champ magnétique radial 14-05-17 à 16:33

Citation :
Je tique toujours un (tout petit) peu sur