Je n'arrive pas à attacher l'image donc je vais faire de mon mieux pour expliquer:

Une hélice de rayon R et de pas h a pour équations cartésiennes paramétriques (dans un repère orthonormé) :  x = R cos()  ;  y = R sin()  ;  z =h/2    ;  où le paramètre varie de -∞ à +∞. Cette hélice est parcourue par un courant d'intensité I.
On note M un point de l'hélice avec
  r' = MO = R²+z²
  
Puis dOMxMO=(dxux+dyuy+dzuz)x(xux+yuy+zuz)
Les vecteurs sont en gras.
En résultat je dois trouver pour ux=(h/2)(sin-cos)Rd
uy: (-h/2)(cos+sin)Rd
uz:R



Voilà j'ai recopier l'essentiel mais si vous ne comprenez pas je reposterais comme je peux l'exercice.
Merci

Bonsoir Cleindorie !

je viens juste d'allumer mon ordi avant de l'emballer pour mon depart demain... je peux repondre tout de suite a ta premiere question :
Si le point M a pour coordonnees x = R.cos, y = R.sin et z quelconque, alors la norme au carre du vecteur OM est r'² = x² + y² + z². Mais on voit que x² + y² = R²(cos² - sin²), soit R² (car sin² + cos² = 1...). Donc r'² = R² + z².
Pour la 2ieme question, je ne comprends pas ce qu'il faut trouver : ton expression OM.dOM fait penser a un produit scalaire, mais dans ce cas le resultat est x.dx + y.dy + z.dz. Mais dans ce cas le resultat que tu donnes (expressions de ux et de uy) ne peut pas se deduire de ce produit scalaire.  Est-que les vecteurs ux et uy sont bien ceux du plan xOy ? Si oui, je ne vois pas pourquoi ils dependent de d ; mais peut-etre que je n'ai pas compris la question.

Maintenant, si le but du jeu est de calculer le champ magnetique B cree sur l'axe de l'helice par un courant I qui la parcourt, je pense a vue de nez qu'il faut en effet prendre le vecteur i.dl qui figure dans la loi de Biot et Savart, le projeter sur le plan xOy (cette projection creera un champ magnetique sur l'axe Oz de l'helice) et ne pas s'occuper de l'autre projection (celle // a Oz, qui cree un champ a Oz). Au bout du compte, on doit trouver une expression qui, si on fait tendre vers 0 le pas h de l'helice, doit redonner la relation bien connue B = ₀.n.I du solenoide, dans laquelle n est le nombre de spires par unite de longueur.

J'arrete la car demain je dois me lever tres tot, et pour moi le plus mauvais moment de la journee c'est de sortir de son lit !

Je vais faire mon possible pour obtenir une connexion wifi dans les Charentes. Donc svp reponds a mes questions, de toutes facons il y aura bien qqn pour reprendre cet exo et t'aider a le terminer.

A bientot,  B.B.

Bonsoir Prbebo,

Tu dois dormir à cette heure là pour ton départ demain mais je tiens d'abord à te remercier pour m'avoir répondu.
Pour la première relation je dois dire pour ma défense que je suis bien bête! Comme tu le dis parfois les choses les plus simples qui sont sous nos yeux on ne les voit pas...
Ensuite pour la deuxième question je dois t'avouer que moi non plus je ne l'ai pas compris... Je pensais que c'était un produit scalaire mais ça ne fonctionne pas comme tu as pu le voir avec les données de l'énoncé (enfin ce n'est pas ce que j'ai dans la correction).
Tu as raison aussi puisque dans la suite de l'exercice je dois trouver lorsque le pas h de l'hélice est très petit par rapport à R que l'on a le champ magnétique du solénoïde infini.

Le problème reste donc pour moi le développement de dOMxOM qui reste pour moi un mystère(pour l'instant parce que je vais bien finir par trouver!)
En plus j'avais fait une erreur en recopiant je dois avoir uz=R.Rd

Profite bien de tes vacances Prbebo et à bientôt!

Cleindorie

Bonjour,

avec tes réponses cela ressemble a un produit vectorielle: pas définition le produit vect de a et b est:
a^b=(a_yb_z-a_zb_y)u_x + (a_zb_x-a_xb_z)u_y + (a_xb_y-a_yb_x)u_z.

Avec OM= Rcosu_x +Rsinu_y + h/2u_z, on obtient:
dOM= -Rsindu_x + Rcosdu_y +hd/2u_z
En appliquant la formule précedente avec ces 2 vecteurs je pense (je n'ai pas essayé) que tu trouves le bon résultat.

Bon courage!

Bonjour,

Effectivement entrOpie tu as raison, il s'agit bien d'un produit vectoriel, il y a probablement une faute de frappe dans la correction. Par contre il faut faire OM^dOM pour trouver le résultat de la correction. Ce qui ne me paraît pas très logique c'est qu'avec l'application de la loi de Biot et Savart au centre de mon hélice et en prenant un point M quelconque de l'hélice, ils écrivent:
B= (₀I/4)dOMxu/r²
Donc déjà nous savons que le "x" est en fait ""
Par contre ils posent r=MO et u=MO/MO
Pourquoi? Pourquoi ne pas garder simplement OM? Puisque que l'on fasse MO ou OM, on obtient quand même
r=R²+z²

Le problème que j'ai pour la suite est de calculer l'intégrale elliptique qui suit:
B_z=(₀I.R²/2h)dz/(R²+z²)^3/2
L'intégrale allant de - à +
Il faut poser tan=z/R, le problème c'est que je ne sais pas calculer les intégrales elliptiques et après avoir chercher sur internet je n'ai pas tout compris... Si quelqu'un pouvait m'indiquer un site ou m'expliquer ça m'aiderait beaucoup, merci.
Bon dimanche à tous!

bonjour,

ce n'est pas une faute de frappe mais le symbole utilisé dans beaucoup de livres.

Sinon le produit vect étant non commutatif ils posent r=MO pr que la formule soit juste. avec r=OM et l'équivalent pour u, la formule s'écrit uxdOM

Pour l'intégrale, en factorisant R (il sort R³ de l'int) ton dénominateur devient (1+(z/R)²)^3/2.
Tu poses alors z/R=tan. Or 1+tan²=1/cos² et dz=R/cos². N'oublie pas de changer les bornes d'intégration (-l'inf devient -/2 et +l'inf devient +/2). et ensuite tu intègres le cos qui reste.

Amuse toi bien!

Bonsoir,

J'avais bien factorisé par R mais je n'arrivais pas à intégrer parce que j'avais oublié dz... Finalement le calcul n'était pas si compliqué! Merci entrOpie.

Par contre je reste bloquée sur cette histoire de OM et MO, je m'explique:
En faisant l'exercice j'ai commencé en écrivant la loi de Biot et Savart tel que
dB=(₀I/4).dlxu/r
En assimilant dl à dOM et en posant u=OM/OM

Je me retrouvais donc avec le même résultat mais avec des moins à la place des plus et inversement... Pourquoi ai-je tort ? Et comment éviter de refaire cette faute lors d'un prochain exercice?

Bonsoir Cleindorie !

Ca y est, j'ai soudoye le barman du centre de loisirs ou nous sommes, et moyennant une biere de temps en temps, il m'a donne le code d'acces au reseau du centre. Je peux donc suive l'avancement des topics en cours.
Tout d'abord, un grand bravo a Entropie pour avoir reconnu un produit vectoriel dans la relation donnee par Cleindorie : ca ne saute pas aux yeux, mais c'est vrai que la relation de Biot-Savart en contient un.
Entropie a encore raison a propos de l'orientation du vecteur unitaire u : il va depuis le point M ou se trouve l'element de circuit dl vers le point M' ou on veut calculer le champ B. Dans cet exo M est un point de l'helice, et le point M' n'est autre que le point O de l'axe de l'helice. Donc u = MO / r, et non le vecteur OM. C'est sans doute pour ca que Cleindorie a des problemes de signe. Dans cette relation r = ||MO|| ou ||OM||, pas d'importance puisque c'est une longueur.

Je suis un peu plus inquet a propos de la relation donnee par Cleindorie dans le post de 21 : Bz y est divise par h, donc si on fait h = 0 on obtient un champ infini… il y a sans doute une erreur dans cette relation.

J'ai une autre approche de cet exercice, qui ne necessite pas d'utiliser la relation de Biot et Savart. Je n'aurai pas le temps maintenant de vous l'expliquer en detail, donc la voici en quelques mots :
Prenons le deplacement elementaire dl sur l'helice : il se decompose en un deplacement horizontal dl₁ dans le plan xOy, et un  deplacement dl₂ parallele a l'axe Oz de l'helice.
L'element de courant I.dl₁ correspond va une rotation autour de Oz, et cree sur Oz le champ Bz qu'on cherche a calculer ; l'element I.dl₂, parallele a Oz, ne cree aucun champ magnetique sur celui-ci.
Appelons α l'angle que fait le vecteur dl avec le plan xOy. Alors dl₁ = dl.cos α. Le courant qui cree le champ Bz est donc I' = I.cos α.
Vu comme ca, l'helice est assimilable a un solenoide  parcouru par le courant I', donc Bz = μ0.n.I', ou n est le nombre de spires par unite de longueur. Cette relation vient d'une integration de la loi de Biot et Savart menee sur un solenoide infini ; inutile donc de la refaire ici.

Pour moi, le resultat demande est donc Bz = μ₀.n.I.cos α. Il ne reste plus qu'a calculer α et c'est facile, puisque le vecteur dl est tangent a l'helice, donc peut etre donne par le vecteur  vitesse v du point M dont les coordonnees sont donnees en tete d'enonce, tandis que le vecteur dl₁ est donne par la vitesse v₁ de la projection de M dans le plan xOy. On ecrira donc cos α  = v.v₁ /(||v||.||v₁||). Le resultat depend bien sur des parametres R et h de l'helice, et doit redonner μ₀.n.I si on fait tendre h vers zero. Entropie, qu'en penses-tu ?

Bon il se fait tard et demain nous devons marcher un peu plus de 20 km... Je reviendrai sur le forum demain soir ou jeudi.

Prbebo.

Bonjour Prbebo,

Je n'ai pas le temps de répondre à toutes tes questions je me dépêche, juste à propos de la relation du post 21 avec Bz.
Je divise par h parce qu'en projetant sur les vecteurs unitaires on obtient:
Bz= (₀.I.R²/4)d/(X)

(désolée pas le temps de tout écrire faut vraiment que je me dépêche)

Or avec la relation donné dans l'énoncé z=h/2, donc dz=hd/2, d'où d=2dz/h

On remplace etc etc...
Mais comme le pas de l'hélice est h et que l'on veut le champ du solénoïde on pose n=1/h en assimilant 1/h au nombre de spire d'un solénoïde. Bon c'est un peu simplet comme explication mais c'est tout ce que j'ai trouvé et ça paraissait assez logique, voilà! Je dois y aller peut-être à ce soir alors, mais profite bien de tes vacs!

Cleindorie

Bonsoir à tous,

Désolée de répondre si tard mais je viens de finir mon déménagement, enfin!
Merci Prbebo pour ton explication sur le vecteur OM, en effet je me suis trompée parce que je fais comme beaucoup d'élèves nous sommes trop habitués à appliquer bêtement des formules avec nos lettres habituelles (ici c'est parce que j'ai appris la loi de Biot et Savart avec le vecteur PM...) et on ne réfléchis pas assez! Du coup ici mon M était en fait P d'où mon erreur. Faut que j'apprenne à réfléchir un peu plus parce qu'on s'entête sur des bêtises et après on fait des  erreurs.

Ensuite à propos du pas h: il ne peut pas tendre vers 0 sinon ce ne serait plus une hélice mais un cercle, non? Sinon je ne comprends peut être pas bien ce qu'est le pas... Pour moi il s'agit de l'écart entre les différentes pales de l'hélice.

Sinon Prbebo je suis désolée mais je n'ai pas du tout compris l'autre façon de faire l'exercice. Je crois que le gros soucis que j'ai c'est que je n'arrive pas à me faire un schéma clair du repère et de l'hélice par rapport à ce repère, je ne visualise pas bien.
Merci pour toutes vos réponses, à bientôt sur le topic!

Bonjour Cleindorie !

Voici enfin le corrigé de ton exercice sur le solénoïde hélicoïdal. Comme tu as des difficultés à te représenter le système, on regarde d'abord la figure ci-dessous :

Le circuit électrique est représenté en gras : l'axe de l'hélice est Oz, le plan xOy est normal à Oz et contient l'angle θ des équations paramétriques x = R.cosθ, y = R.sinθ, z = hθ/(2π). Pour θ = 0 on est en A, ensuite le fil s'enroule autour du cylindre de rayon OA = R ; pour θ quelconque on est en M, et en faisant un tour complet à partir de M on se retrouve au-dessus, en M(θ +2π) sur la verticale HM. La distance séparant les deux points M est la hauteur dont on a grimpé sur Oz, donc c'est h, appelé pas de l'hélice. Pour une hauteur h sur Oz on a fait un tour complet sur le circuit, donc on a parcouru une spire : le nombre de spires par unité de longueur est donc n = 1/h (mesuré en m^-1). C'est toi qui a raison, si h tend vers zéro n tend vers l'infini. Ca veut dire que l'hélice devient une bobine extra-plate avec plusieurs spires. Mathématiquement c'est possible, physiquement non car il faut tenir compte du diamètre du fil. J'avais oublié cà… excuse-moi pour le post inutile.
OK pour la figure ? Alors on passe au calcul :

On part de la relation de Biot et Savart, dB = μ₀I/(4π).dlu/r², dans laquelle dB est le vecteur champ magnétique élémentaire en O, dl est le vecteur élémentaire MM' sur le circuit, r est la distance OM et u le vecteur unitaire pris de M vers O. Le symbole représente le produit vectoriel de dl par u.
Les coordonnées de M sont les composantes du vecteur OM, soit (x, y, z) (je préfère écrire les composantes des vecteurs entre parenthèses, c'est plus lisible que de mettre une flèche). Le point M' correspond à une petite variation dθ de l'angle θ, donc on écrit MM' = dl = (dx, dy, dz) avec dx = -R.sinθ.dθ, dy = R.cosθ.dθ, dz = (h/2π).dθ = k.dθ ou je pose k = h/(2π) pour gagner du temps.
Le vecteur MO a pour composantes (-x, -y, -z) ; sa longueur est r = (x² + y² + z²) = (R² + z²). Le vecteur u a donc pour composantes (-x/r, -y/r, -z/r) (c'est le vecteur MO divisé pas sa norme).
Le produit vectoriel dlu a pour composantes [(-zR.cosθ + ky, -kx - zR.sinθ, Ry.sinθ + xR.cosθ)].(dθ/r). Si tu as des problèmes avec les produits vectoriels, je te donnerai un truc pour les calculer facilement, mais pas dans ce post pour ne pas l'alourdir.
On s'intéresse à la composante du champ magnétique sur l'axe Oz, donc on ne retient que la troisième composante du produit vectoriel. On vérifie facilement que Ry.sinθ + xR.cosθ = R2, ce qui donne dBz = μ0I/(4π).R2dθ/r3. On va remplacer dθ par dz avec la relation dθ = dz/k ; on obtient donc dBz = μ0IR2/(2h).dz/(R2 + z2)3/2, avec r = √(R2 + z2).
Faisons apparaître la quantité z/R : on écrit (R2 + z2)3/2 = R3.(1 + z2/R2)3/2. L'expression de dBz devient finalement dBz = (μ0I/2h).(dz/R)/(1 + z2/R2)3/2. OK ?

Oublions un moment la constante (μ0I/2h) pour s'intéresser au calcul de l'intégrale. Comme entr0pie l'a indiqué, un simple changement de variable permet de s'en tirer. On pose donc z/R = tanα, ce qui donne dz/R = d(tanα) = dα/cos2α. On a aussi 1 + z2/R2 = 1 + tan2α = 1/cos2α. Le dénominateur de la quantité à intégrer vaut donc 1/cos3α. En reportant tout ça on obtient (dz/R)/(1 + z2/R2)3/2 = cosα.dα. Comme z varie de -∞ à +∞, tanα aussi, donc α varie de -π/2 à +π/2. L'intégrale est donc égale à 2.

En définitive, Bz vaut donc (μ0I/2h).2 = μ0I/h ou encore μ0nI. Ouf !

Je pense que c'est le bon résultat et c'est celui que tu peux rendre à ton correcteur. Cependant il ne me satisfait pas car d'après mon intuition première il aurait dû être inférieur à cette valeur ; c'est ce que j'ai voulu expliquer dans mon post du … (mais oublie-le, car tu as raison il n'est vraiment pas clair : j'y ai posé θ = ωt, ce qui n'a franchement aucun intérêt !). Je vais quand même reprendre mon explication car il y a quelque chose que je ne comprends pas :
En allant de M vers M' le courant I effectue à la fois une rotation autour de Oz, matérialisée par le vecteur HH',  et un déplacement vertical non représenté sur mon schéma. D'après la loi de Biot et Savart, seul le déplacement horizontal des charges électriques (donc de H vers H') crée un champ magnétique porté par Oz. En appelant γ l'angle entre MM' et HH' (dans mon post j'avais appelé α cet angle, mais ici α a déjà été utilisé comme variable d'intégration), j'ai pensé que tout se passe comme si le courant passant dans l'hélice était I' = I.cosγ, ce qui donnerait Bz = μ0nI' = μ0nI.cosγ. Calculer cosγ n'est pas difficile, il suffit de passer par le produit scalaire MM'.HH'.
J'ai relu la manière dont on calcule le champ sur l'axe d'un solénoïde : on part d'une spire plate dont on connaît le champ en un point de son axe, et on additionne une infinité de spires identiques pour arriver au solénoïde ; dans cette configuration toutes les lignes de courant sont parallèles au plan xOy, donc normales à l'axe Oz. Dans le cas de l'hélice ces lignes de courant font avec Oz l'angle γ, d'où mon intuition de projeter. Je vais devoir réfléchir sérieusement pour comprendre pourquoi je me trompe, mais si quelqu'un a la réponse, je suis preneur…

Desole, le post est parti avant que je ne fasse la mise en page (lettres grasses, indices etc...). Je reprends donc la ou je m'etais arrete :

Le produit vectoriel dlu a pour composantes [(-zR.cosθ + ky, -kx - zR.sinθ, Ry.sinθ + xR.cosθ)].(dθ/r). Si tu as des problèmes avec les produits vectoriels, je te donnerai un truc pour les calculer facilement, mais pas dans ce post pour ne pas l'alourdir.
On s'intéresse à la composante du champ magnétique sur l'axe Oz, donc on ne retient que la troisième composante du produit vectoriel. On vérifie facilement que Ry.sinθ + xR.cosθ = R², ce qui donne dB_z = μ₀I/(4π).R²dθ/r³. On va remplacer dθ par dz avec la relation dθ = dz/k ; on obtient donc dB_z = μ₀IR²/(2h).dz/(R² + z²)^3/2, avec r = (R² + z²).
Faisons apparaître la quantité z/R : on écrit (R² + z²)^3/2 = R³.(1 + z²/R²)^3/2. L'expression de dB_z devient finalement dB_z = (μ₀I/2h).(dz/R)/(1 + z²/R²)^3/2. OK ?

Oublions un moment la constante (μ₀I/2h) pour s'intéresser au calcul de l'intégrale. Comme entr0pie l'a indiqué, un simple changement de variable permet de s'en tirer. On pose donc z/R = tanα, ce qui donne dz/R = d(tanα) = dα/cos²α. On a aussi 1 + z²/R² = 1 + tan²α = 1/cos²α. Le dénominateur de la quantité à intégrer vaut donc 1/cos³α. En reportant tout ça on obtient (dz/R)/(1 + z²/R²)^3/2 = cosα.dα. Comme z varie de -∞ à +∞, tanα aussi, donc α varie de -π/2 à +π/2. L'intégrale est donc égale à 2.

En définitive, B_z vaut donc (μ₀I/2h).2 = μ₀I/h ou encore μ₀nI. Ouf !

Je pense que c'est le bon résultat et c'est celui que tu peux rendre à ton correcteur. Cependant il ne me satisfait pas car d'après mon intuition première il aurait dû être inférieur à cette valeur ; c'est ce que j'ai voulu expliquer dans mon post du 23/08 (mais oublie-le, car tu as raison il n'est vraiment pas clair : j'y ai posé θ = ωt, d'ou ces notions de vitesses, ce qui n'a franchement aucun intérêt !). Je vais quand même reprendre mon explication car il y a quelque chose que je ne comprends pas :
En allant de M vers M' le courant I effectue à la fois une rotation autour de Oz, matérialisée par le vecteur HH', et un déplacement vertical non représenté sur mon schéma. D'après la loi de Biot et Savart, seul le déplacement horizontal des charges électriques (donc de H vers H') crée un champ magnétique porté par Oz. En appelant γ l'angle entre MM' et HH' (dans mon post j'avais appelé α cet angle, mais ici α a déjà été utilisé comme variable d'intégration), j'ai pensé que tout se passe comme si le courant passant dans l'hélice était I' = I.cosγ, ce qui donnerait B_z = μ₀nI' = μ₀nI.cosγ. Calculer cosγ n'est pas difficile, il suffit de passer par le produit scalaire MM'.HH'.

J'ai relu dans mes bouquins de cours la manière dont on calcule le champ sur l'axe d'un solénoïde : on part d'une spire plate dont on connaît le champ en un point de son axe, et on additionne une infinité de spires identiques pour arriver au solénoïde ; dans cette configuration toutes les lignes de courant sont parallèles au plan xOy, donc normales à l'axe Oz. Dans le cas de l'hélice ces lignes de courant font avec Oz l'angle γ, d'où mon intuition de projeter. Je vais devoir réfléchir sérieusement pour comprendre pourquoi je me trompe, mais si quelqu'un a la réponse, je suis preneur…

Si tu as des soucis de comprehension (taper des formules sur le forum n'est pas facile dans ce cas d'exercice), continue a mettre des posts.

B.B.

Joli!! Sympa le Pr

Merci Prbebo, j'ai bien compris avec ton schéma, c'est vraiment ça qui me pose soucis à chaque fois, j'ai trop de mal à visualiser, et comme en plus je suis nulle en dessin...
Je comprends ce que tu veux dire en projetant avec cos mais je n'ai pas ta réponse
Et comme écrit entrOpie

A bientôt sur le forum!