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Champ électrostatique d'une spire à partir du potentiel

Posté par
YvanD 30-08-10 à 15:28

Salut,

On considère une spire de rayon R portant une charge linéique uniforme et constante λ.
Déterminer le potentiel V créé par la spire en un point de son axe (Oz)et retrouver le champ électrostatique créé par cette spire en un point de l'axe.

En fait je ne sais pas comment commencer (j'ai l'habitude de calculer directement le champ mais là il faut utiliser le potentiel).

Merci d'avance

Posté par
Boltzmann_Solverre : Champ électrostatique d'une spire à partir du potentiel 30-08-10 à 15:50

Rebonjour,

Connais tu le définition intégrale du potentiel electrostatique pour une distribution linéaïque de charge ?

Si oui, place toi en coordonnée cylendrique et applique la définition.

Posté par
YvanDre : Champ électrostatique d'une spire à partir du potentiel 30-08-10 à 15:59

Re,
Je sais que :
3$ \\ \mathrm dV \\ = - \widevec{E(M)}\cdot \widevec{\mathrm dOM} \\ = ... = \\ = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \mathrm d\frac{1}{r} \\ (en cylindriques)
Ça suffit ?

Si ce n'est pas ça la définition intégrale du potentiel électrostatique pour une distribution linéique de charge, je ne vois pas ce que c'est (j'ai soit oublié, c'est probable, soit pas vu).

Posté par
Boltzmann_Solverre : Champ électrostatique d'une spire à partir du potentiel 30-08-10 à 16:09

Non, par ce chemin tu ne peux pas sans expliciter E. Ici, il faut utiliser :

V(M) = 1/(40)*Dvect(dlp)/PM.

Sais tu passer en cylindrique maintenant ?

Posté par
YvanDre : Champ électrostatique d'une spire à partir du potentiel 30-08-10 à 16:14


J'ai trouvé (ici : http://fr.wikiversity.org/wiki/Champ_%C3%A9lectrostatique,_potentiel/Potentiel) la définition du potentiel électrostatique :
3$ V(M)= \int_\Gamma \frac{\lambda(P)}{4\pi\varepsilon_0 {\rm PM}}\,\mathrm dl
D'où vient la formule (je connais la notion de circulation et le lien circulation-potentiel et aussi l'expression du champ électrostatique dE créé par un élément de charge dq qui vaut ici \lambda R \mathrm d\theta) ??

Donc dans le cas de la spire :
3$ V(M)= \int_{\theta \in [0,2\pi]} \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 {\rm PM}} (R \mathrm d\theta)
soit V(M) = \frac{\lambda R}{2\varepsilon_0 {\rm PM}} \\ .

Posté par
YvanDre : Champ électrostatique d'une spire à partir du potentiel 30-08-10 à 16:24

Désolé, j'avais pas vu ton post...

Sinon d'où vient la formule :
\mathrm dV(M) = \frac{\mathrm dq}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{PM}
\mathrm dE = \frac{\mathrm dq}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec u_r}{r^2}

Quel lien existe-t-il entre dE et dV ?

Posté par
Boltzmann_Solverre : Champ électrostatique d'une spire à partir du potentiel 30-08-10 à 16:35

\mathrm \deltaV(M) = \frac{\mathrm \deltaq}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{PM}. C'est l'application directe du théorème du superposition par linéarité de l'opérateur gradient.

Euuuhh, j'ai jamais vu de dE encore...

Posté par
Boltzmann_Solverre : Champ électrostatique d'une spire à partir du potentiel 30-08-10 à 16:36

\mathrm \delta{V(M)} = \frac{\mathrm \delta{q}}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{PM}. C'est l'application directe du théorème du superposition par linéarité de l'opérateur gradient.

Euuuhh, j'ai jamais vu de dE encore...

Posté par
YvanDre : Champ électrostatique d'une spire à partir du potentiel 30-08-10 à 16:50

Citation :
C'est l'application directe du théorème du superposition par linéarité de l'opérateur gradient.

Ouias. J'ai à peine vu le gradient cette année !! Je vais plutôt retenir la formule brute !
dE est une notation (utilisée par mon prof, c'est peut-être personel) pour dire le champ électrostatique créé par un élément de charge dq placé en X, on a : \widevec{\mathrm dE(M)} = \frac{\mathrm dq}{4\pi\epsilon_0} \frac{\widevec{XM}}{XM^3}

Maintenant que j'ai V comment trouvé E ?

Posté par
Boltzmann_Solverre : Champ électrostatique d'une spire à partir du potentiel 30-08-10 à 17:19

Ton dE(M) est ok. Il est juste pas pratique à mon gout.

Sinon, maintenant que tu connais V. Par analyse des symétries et des invariances, tu as vect(E(M(r,thetaz))) = Ez.vect(uz). Or, dV = -vect(E).vect(dl) = -Ez.dz ==> Ez = -dV/dz.

Posté par
YvanDre : Champ électrostatique d'une spire à partir du potentiel 31-08-10 à 09:52

J'arrive donc à :
3$ E(z) = -\frac{dV}{dz} = -\frac{\lambda R}{2\epsilon_0} \mathrm d \left( \frac{1}{PM} \right)
On a PM = \sqrt{R^2+z^2} donc E(z) = +\frac{\lambda R}{2\epsilon_0} \frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}.
C'est exactement ce j'ai trouvé en passant par le champ.

Merci (encore) de ton aide.

Posté par
YvanDre : Champ électrostatique d'une spire à partir du potentiel 31-08-10 à 10:03

Sinon je me demande comment calculer dV/dz directement sans calculer V (seulement expliciter dV), je trouve ça -\frac{dV}{dz} = - \frac{\lambda R}{4\pi\epsilon_0}(R^2+z^2)^{-1/2}\frac{d\theta}{dz} mais coment continuer ?


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