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Champ électrostatique d'un disque

Posté par
roufba 16-05-13 à 11:08

Bonjour,

Je travaille actuellement sur : ** lien vers l'énoncé effacé **

le problème du disque uniformément chargé, mais il y'a certains points que je ne comprends pas:

Pourquoi dS = 2 r dr ?
La formule est en fonction de cos()?
Et en début de formule pourquoi prennons nous dE(p) ? pourquoi une dérivée du champ ?

Je vous remercie pour votre aide

Edit Coll : si tu veux de l'aide, merci de faire l'effort de recopier ton énoncé sur le forum     

Posté par
PerArGalre : Champ électrostatique d'un disque 16-05-13 à 13:36

Bonjour,

Citation :
pourquoi prennons nous dE(p) ? pourquoi une dérivée du champ ?



Je n'ai pas le texte de l'énoncé, mais il y a fort à parier que dE représente non pas une dérivée du champ mais une portion élémentaire du champ total E:

Si par exemple le champ E resulte d'une distribution de charges ponctuelles qi, i variant de 1 à N, chaque charge produisant un champ dEi disons en un point M

Tu as \vet{E}(M) = \sum_{i=0}^{N}\vec{dE_i}(M)

Si maintenant E résulte d'une distribution continue de charge, disons contenues sur une surface S, la somme devient un intégration ("somme continue") sur la surface

\vec{E}(M) = \int_{S}\vec{dE}(M).dS

Est ce plus clair?

Maintenant, venons en à ton autre question:

Citation :
Pourquoi dS = 2 r dr ?


Là encore sans voir l'énoncé, je devine que l'on te demande de calculer le champ en un point P situé sur une perpendiculaire au disque et passant par son milieu (son axe!) que je vais appeler Ox (O étant le centre du disque)

Pour le faire tu dois sommer les champs élémentaires générés par des éléments de surface élémentaire de ton disque (cf. ci dessus)

Or, la charge étant uniformément répartie, chaque anneau élémentaire 2\pi.r.dr va contribuer de manière égale au champ:
- les composantes perpendiculaires à Ox vont s'annuler (symétrie par rapport à Ox)
- les composante dEx colinéaires à Ox (tiens on voit apparaitre le dE_x = dE.cos\alpha ) sont s'ajouter ...  

Est ce plus clair?

Posté par
roufbare : Champ électrostatique d'un disque 17-05-13 à 10:01

Disque uniformément chargé

On dispose d'un disque de rayon R uniformément chargé, de densité surfacique de charge , de centre O et orthogonal à (Oz).
Après pour que ce soit plus claire le schéma est sur le site que j'avais mis

Et merci je comprends mieux le début et pour ce qui est de dS j'ai trouvé une démonstration sur wiki

Par contre, pour ce qui est du cos je ne comprends toujours pas...

Posté par
PerArGalre : Champ électrostatique d'un disque 17-05-13 à 11:59

Citation :
pour ce qui est du cos je ne comprends toujours pas...


Arrrgghhh ... On recommence alors en essayant d'être meilleur:

On reprend ton dessin (ce serait d'ailleurs pas mal que tu l'attaches en tant qu'image sur ce site).
On munit l'espace d'un référentiel O,x,y,z (le plan Oxy étant le plan du disque) et on se place dans un système de coordonnées cylindriques (r,,z)

Prenons une surface élementaire dS = r.dr.d autour d'un point P (r,,0)(situé à une distance r de O sur le disque chargé): le champ créé en M (de coordonnées (0,0,z)) est

\vec{de} = \frac{1}{4.\pi.\epsilon_0}\sigma dS \frac{\vec{PM}}{PM^3}

Or \vec{PM} = -r\vec{u_r} + z\vec{u_z}

avec

r = z.tg\alpha
et
PM = \frac{z}{cos\alpha}


Les composantes de \vec{de} sont donc

\vec{de_r} = -\frac{1}{4.\pi.\epsilon_0}\sigma dS \frac{sin\alpha cos^2\alpha}{z^2}.\vec{u_r}

\vec{de_{\theta}} = \vec{0}

\vec{de_z} = \frac{1}{4.\pi.\epsilon_0}\sigma dS \frac{cos^3\alpha}{z^2}\frac{|z|}{z}.\vec{u_z}

Pour ne pas se trimbaler le signe de z (\frac{|z|}{z}) tout le temps on va considérer désormais que z est positif, le système étant symétrique \vec{E}(z) = -\vec{E}(-z)

On voit donc que ces expressions sont indépendantes de l'angle ce qui justifie le choix initial pour surface élémentaire d'un anneau de rayon r de largeur dr!

Appelons \vec{dE} le champ créé par cet anneau, il faut pour cela sommer \vec{de} en faisant varier entre 2 et 2:

\vec{dE_r} = \vec{0} (symétrie +)

\vec{dE_{\theta}} = \vec{0}

\vec{dE_z} = \int_0^{2\pi}\frac{1}{4.\pi.\epsilon_0}\sigma \frac{cos^3\alpha}{z^2}rdrd\theta.\vec{u_z}

Donc

\vec{dE_z} = \frac{1}{2.\epsilon_0}\sigma \frac{cos^3\alpha}{z^2}rdr \vec{u_z}

et r étant bien sûr liés par l'égalité rappelée plus haut

r = z.tg\alpha

Pour calculer le champ total \vec{E} créée en M par le disque il faut sommer \vec{dE} en faisant varier r de 0 à R (ou de 0 à Arctg\frac{R}{z})

Soyons fous, exprimons tout en fonction de !

r = z.tg\alpha  donc  dr = \frac{z}{cos^2\alpha}d\alpha (chouette un cos2!!!)

Donc  

dE_z = \frac{1}{2.\epsilon_0}\sigma \frac{cos^3\alpha}{z^2}\frac{z^2.tg\alpha}{cos^2\alpha}d\alpha

Soit


dE_z = \frac{1}{2.\epsilon_0}\sigma \frac{sin\alpha}d\alpha

Et donc

E_z = \int_0^{Arctg\frac{R}{z}}\frac{1}{2.\epsilon_0}\sigma \frac{sin\alpha}d\alpha

E_z = \frac{\sigma}{2.\epsilon_0}(1-cos(Arctg\frac{R}{z}))

Et comme cos(Arctg(x)) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}

On peut écrire encore:

E_z = \frac{\sigma}{2.\epsilon_0}(1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}))

ATTENTION: On a fait l'hypothèse bien plus haut que z était positif ... pour z négatif, on fera le changement de signe qui va bien (et qui n'est pas complètement trivial d'ailleurs!)

Posté par
alsyiare : Champ électrostatique d'un disque 17-05-13 à 17:15

Je me permet de m'incruster, parce que justement, je n'arrive pas à faire ce fichu changement de signe.
Ma prof a simplement écrit : E(-z) = -E(z), donc pour z < 0, E(z) = -/20*(1/(R² +z²))

Eh ben j'ai beau tout essayer, je ne vois pas comment passer de l'avant dernière ligne de ton message à la formule pour z négatif... Un ptit coup de main ?


Ps : poster ici m'a paru plus simple que de recréer un sujet... si c'est nécessaire, je le ferai.

Posté par
alsyiare : Champ électrostatique d'un disque 17-05-13 à 17:16

Pardon, c'est : (1 + 1/(R² + z²)) dans la parenthèse...

Posté par
PerArGalre : Champ électrostatique d'un disque 17-05-13 à 18:54

@alsyia

Si tu a suivi tout le reste, le changement de signe ne devrait plus t'embêter trop longtemps:

A une étape du raisonnement nous avons établi:

\vec{de_z} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sigma dS \frac{cos^3\alpha}{z^2}\frac{|z|}{z}\vec{u_z}

Le \frac{|z|}{z} matérialisant que  \vec{de_z} a même sens que \vec{u_z} quand z >0 et est de sens opposé à  \vec{u_z} quand z < 0

Nous avons ensuite supprimé \frac{|z|}{z}. en précisant que il y avait symétrie par rapport au plan Oxy.

Dans le cas maintenant où z < 0 on a:

\frac{|z|}{z} = -1

r = -z.tg\alpha

\alpha variant de 0 à Arctg(\frac{R}{-z}) = -Arctg(\frac{R}{z})

Les différentes expressions intermédiaires qui apparaissent plus haut deviennent alors:



\vec{dE_z} = -\frac{1}{2\epsilon_0}\sigma \frac{cos^3\alpha}{z^2}\frac{z^2}{cos^2\alpha}tg\alpha.d\alpha

Donc en simplifiant


\vec{dE_z} = -\frac{1}{2\epsilon_0}\sigma sin\alpha.d\alpha

(je m'aperçois qu'il y une petite coquille dans une expression dans le calcul précédent mais vous aurez corrigé de vous même)

Donc


\vec{E_z} = -\int_0^{-Arctg\frac{R}{z}}\frac{1}{2\epsilon_0}\sigma sin\alpha.d\alpha


En intégrant (primitive de sin = -cos)


E_z = -\frac{1}{2\epsilon_0}\sigma(1 - cos(-Arctg\frac{R}{z}))

Soit


E_z = -\frac{1}{2\epsilon_0}\sigma(1 - \frac{1}{\sqrt{1+\frac{R^2}{z^2}}}))


comme  \sqrt{z^2} = -z

on obtient

E_z = -\frac{1}{2\epsilon_0}\sigma(1 + \frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}))


On peut "unifier" les expressions pour z>0 et z<0 en

E_z = \frac{1}{2\epsilon_0}\sigma(1 - \frac{|z|}{\sqrt{R^2+z^2}})).\frac{|z|}{z}

On est bon cette fois? Un peu fastidieux je le reconnais ... mais avec un peu d'entrainement ...

Posté par
alsyiare : Champ électrostatique d'un disque 17-05-13 à 20:02

Euh, le souci, c'est que moi, je l'ai fait en utilisant des coordonnées polaires sur le disque (r, ), et du coup, j'ai un peu de mal avec les anneaux comme surface élémentaire.

Mais en fait, je crois que je viens de trouver la réponse à une ligne que j'avais loupée : tu écris : \vec{E}(z) = - \vec{E}(-z). Est-ce que cela signifie qu'en projection sur \vec{e}z, on a :
E(z) = -E(-z) ? (ce qui correspond avec le résultat)
Parce que dans le cours, on a noté texto, et pour tout explication : E(z) = E(-z) (E impaire).
Ce qui ne marche pas...

Si ce n'est pas ça, je prendrais le temps de me plonger dans la méthode de calcul utilisée plus haut, mais ptet pas ce soir ^^

Merci encore.

Posté par
PerArGalre : Champ électrostatique d'un disque 17-05-13 à 20:12

Citation :
Parce que dans le cours, on a noté texto, et pour tout explication : E(z) = E(-z) (E impaire).


Cette proposition est fausse: définition d'une fonction impaire f(x) = - f(-x)  

Courage, c'est seulement le cours qui est faux

Posté par
alsyiare : Champ électrostatique d'un disque 17-05-13 à 20:44

Peut-être juste une erreur d'inattention de ma part (et je me demande comment j'ai pu louper un truc aussi gros, je sais pourtant ce qu'est une fonction paire/impaire ^^). En tout cas, c'est réglé, c'était pas grand chose finalement ! ^^

Je trouve quand même dommage que ma prof n'ai pas réussi à répondre à ma question... Elle est très, très forte, mais du coup, quand on pose une question, elle a tendance à vous regarder pendant 5 bonnes secondes avec l'air de celle qui se demande comment on peut ne pas comprendre ça, puis à se lancer dans des élucubrations scabreuses en espérant que, désespéré, vous direz "Ok, j'ai compris, arrêtez-vous là" avant qu'elle n'ai besoin de se demander comment elle va vous l'expliquer. Et comme 99% des gens abandonnent vite (le % restant devenant tout rouge et essayant de la frapper), ça marche plutôt bien ! x)
Enfin bref, je m'égare, et tout ça n'a rien à faire ici. (mais comme c'est écrit... ^^)

Alors, merci, et sans doute à une prochaine !

Posté par
PerArGalre : Champ électrostatique d'un disque 17-05-13 à 21:26

Ce qui se comprend bien s'explique bien ... en se mettant à la portée de son auditoire ... enfin pas toujours .. quoique ... cependant ...

Courage! A+


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