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Niveau maths sup
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Champ électrostatique crée par un plan infini

Posté par
EvDavid
12-08-17 à 14:14

Bonjour,

Je travaillais des exercices portant sur le chapitre de l'électrostatique et j'ai une question à propos du champ crée par un plan infini. C'est à propos de la surface de Gauss, normalement c'est un disque , mais pour calculer le champ on choisit un cylindre qu'on ferme par un autre disque de telle sorte à avoir le même champ. Seulement, je me suis demandé , pourquoi chercher à avoir le même champ alors que le champ électrostatique dans le plan est nul ? Je veux dire , comme surface , on peut choisir l'union du disque où appartient le point M , et la surface latérale du cylindre , et un disque situé dans le plan infini. Seulement on a pas le même résultat il manque un 2 ...

J'espère que vous pourrez m'aider , je ne vois pas où pourrait être la faute.

Merci d'avance

Posté par
vanoise
re : Champ électrostatique crée par un plan infini 12-08-17 à 15:45

Bonjour
Très bonne question !
Le vecteur champ en tout point du disque chargé n'est pas défini. Tu as dû démontré l'existence d'une discontinuité de la composante normale du vecteur champ à la traversée d'une surface chargée.

Posté par
EvDavid
re : Champ électrostatique crée par un plan infini 13-08-17 à 16:15

Bonjour,

Oui en effet. Je vois donc, il n'est même pas défini pour passer à l'étape du calcul de Qint . Je vous remercie pour votre réponse .

Posté par
EvDavid
re : Champ électrostatique crée par un plan infini 20-08-17 à 22:27

Bonsoir,

Je m'excuse de reposter dans ce sujet et surtout qu'il est ancien, mais un professeur de math spé m'a dit aujourd'hui que le champ éléctrostatique dans le plan infini est nul en tout point du plan infini . Et il m'a expliqué cela de cette façon : Prenons un disque chargé uniformément en surface, de centre O , alors le champ éléctrostatique appliqué par ce disque au point O est nul , et cela car O est centre de symétrie et du coup si on somme les champs dirigés vers O ( et puisque chargé uniformément ) alors le champ en O est nul . Et donc de même pour un plan infini, où on peut considèrer chaque point du plan comme étant le centre d'un disque infini.
Je lui ai dit qu'on a une discontinuité au niveau de toute charge surfacique et du coup le champ est indéfini mais il m'a dit que c'était pas correct .
Je poste cette réponse , au cas où vous saurez qu'elle est la réponse la plus exacte.

J'ai cherché ailleurs ( sur Internet ) mais je n'ai rien trouvé qui correspond à cette question. Peut etre faudra t il cherché dans des documents de l'agrégation.

Merci d'avance ^^

Posté par
vanoise
re : Champ électrostatique crée par un plan infini 20-08-17 à 23:06

Tu ne précises pas si le professeur de Math Spé est un professeur de physique ; si oui, j'espère qu'il ne sera pas ton professeur...
Pour te convaincre de l'absurdité de son raisonnement ; soit O un point de la surface chargée. La charge .dS centrée en O créé en tout point M de l'espace environnant un champ élémentaire de vecteur :

\overrightarrow{dE}=\frac{\sigma.dS}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{\overrightarrow{OM}}{\Vert\overrightarrow{OM}\Vert^{3}}=\frac{\sigma.dS}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{\overrightarrow{u_{r}}}{r^{2}}
On voit bien que ce vecteur champ n'est pas défini au point O (r0) ! De façon générale, le vecteur champ créé par une charge n'est jamais défini sur cette charge !
La relation de discontinuité de la composante normale à la traversée d'une surface chargée se démontre rigoureusement à partir de la relation de Maxwell Gauss :

div\left(\overrightarrow{E}\right)=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}

Voilà bien un point sur lequel je suis absolument formel ! Si ce que j'écris ne te suffit pas, ouvre n'importe quel livre de physique de prépa et les documents sur le sujet abondent sur le net. Quelques exemples :

page 11 §3.4.2
pages 19 et suivantes

Posté par
EvDavid
re : Champ électrostatique crée par un plan infini 20-08-17 à 23:17

Bonsoir,

Oui, c'est un professeur de physique et je dirai que c'est le meilleur dans mon centre. Mais, vous m'avez convaincu.
J'avais vu un document qui démontre la discontinuité de la composante normale à partir du théorème de Maxwell Gauss , comme je me souviens de la démonstration faite en sup où on considère deux points infiniments proches et la surface apparait comme un plan infini et les autres champs sont égaux car infiniment propres ....... comme il y'a continuité de compostante tangentielle ( on trouve 0 ) .
Je vous remercie pour votre réponse cela me causait de grandes confusions.

Merci encore

Posté par
vanoise
re : Champ électrostatique crée par un plan infini 21-08-17 à 16:01

Bonjour EvDavid
Pour mieux comprendre la modélisation surfacique d'une distribution de charge, il est possible de partir d'une situation concrète simple : une plaque d'épaisseur e uniformément chargée en volume avec une densité volumique de charge . Je suppose la plaque de longueur et largeur infinies (en pratique, il suffit de se limiter à l'étude du champ à des distances de la plaque petites devant la longueur et la largeur de celle-ci sans être trop près d'un bord). Dans ces conditions, le vecteur champ à pour expression :

\overrightarrow{E}=E_{z}\cdot\overrightarrow{u_{z}}

avec :

E_{z}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}\cdot z\quad si\quad-\frac{e}{2}\leq z\leq\frac{e}{2}
 \\ 
 \\ E_{z}=\frac{\rho\cdot e}{2\varepsilon_{0}}\quad si\quad z>\frac{e}{2}
 \\ 
 \\ E_{z}=-\frac{\rho\cdot e}{2\varepsilon_{0}}\quad si\quad z<-\frac{e}{2}
Il n'y a pas de discontinuité du vecteur champ à la traversée de la plaque. Supposons maintenant que l'épaisseur e soit très petite devant les autres dimensions du problème. On peut alors définir une densité surfacique de charge : \sigma=\rho\cdot e. On voit clairement que négliger l'épaisseur e revient à négliger la portion AB de la courbe de gauche. Ainsi, la modélisation surfacique est une simplification de la réalité qui introduit nécessairement une discontinuité du vecteur champ égale à \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}\cdot\overrightarrow{u_{z}}.
Tu verras l'an prochain que cette modélisation surfacique est particulièrement utile pour étudier les conducteurs métalliques chargés : les charges électriques fournies au conducteur se localisent au voisinage de la surface de celui-ci sur une profondeur de quelques nanomètres, épaisseur totalement négligeable à l'échelle macroscopique.

Champ électrostatique crée par un plan infini

Posté par
EvDavid
re : Champ électrostatique crée par un plan infini 22-08-17 à 15:47

Bonjour,

Je vous remercie pour vos réponses. Cela m'a aidé à mieux comprendre  quelques notions de l'éléctron statique , l'intéret des modélisations surfaciques , et ce qui est infini ( ou plutot leur intérêt )

Merci encore ^^

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