Niveau autre

champ electrostatique

Posté par
Ariel60 05-11-16 à 09:37

Bonjour,
On considère une demi-sphere de centre O;de rayon R,chargée uniformement en surface avec la densité surfacique $\sigma$ .
Déterminer le champ électrostatique en un point M de l'axe de symetrie Oz de cette sphere.
J arrive à cette expression de dEz,
$\int dE_z =\frac{\sigma R^{^{2}}}{4\Pi \epsilon _0}\int \frac{\left(Rcos\theta +z \right)d\theta sin\theta d\phi }{\left(R^{2}+2Rcos\theta z+z^{2} \right)^{3/2}}$

Et là je bloque au moment de l integration de $\int \frac{Rcos\theta sin\theta d\theta }{\left(R^{2}+2Rcos\theta z+z^{2} \right)^{3/2}}$ en separant l integrale en deux;meme en procedant par changement de variable, en posant $X=R^{2}+2Rcos\theta z+z^{2}$
$dX=-2Rsin\theta z d\theta$ ,impossible de faire disparaitre le sinus.
Merci

Posté par re : champ electrostatique 05-11-16 à 12:05

Bonjour
Pour faire disparaître le sinus, tu peux poser :
u = cos() ; du = -sin().d.
Cela te conduit à déterminer une primitive par rapport à u de :

$-\frac{R.u}{\left(R^{2}+z^{2}+2.R.z.u\right)^{\frac{3}{2}}}$
ce qui est faisable...
Je n'ai pas pris le temps de vérifier ton expression du vecteur champ élémentaire dE_z...

Posté par re : champ electrostatique 05-11-16 à 12:20

Ton exercice est corrigé ici mais ce n'est pas très simple...

Posté par re : champ electrostatique 05-11-16 à 14:34

Voici le calcul de la primitive de la fonction de u fournie dans mon message de 12h15. Est-ce plus simple que la correction référencée dans mon message de 12h20 ? Je te laisse juge...

$P=-\int\frac{R.u}{\left(R^{2}+z^{2}+2.R.z.u\right)^{\frac{3}{2}}}\cdot du$

On pose : $X=R^{2}+z^{2}+2.R.z.u$ ; ainsi : $dX=2.R.z.du$ et : $R.u=\frac{X-R^{2}-z^{2}}{2z}$ .

$P=-\int\frac{\left(X-R^{2}-z^{2}\right).dX}{2z.2.R.z.X^{\frac{3}{2}}}=-\frac{1}{4R.z^{2}}\left[\int\frac{dX}{\sqrt{X}}-\left(R^{2}+z^{2}\right)\cdot\int\frac{dX}{X^{\frac{3}{2}}}\right]$

$P=-\frac{1}{4R.z^{2}}\left[2\sqrt{X}+\frac{2\left(R^{2}+z^{2}\right)}{\sqrt{X}}\right]=-\frac{1}{2R.z^{2}}\cdot\frac{X+R^{2}+z^{2}}{\sqrt{X}}$

Au final :

$\boxed{P=-\int\frac{R.u}{\left(R^{2}+z^{2}+2.R.z.u\right)^{\frac{3}{2}}}\cdot du=-\frac{R^{2}+z^{2}+R.z.u}{R.z^{2}\cdot\sqrt{R^{2}+z^{2}+2.R.z.u}}}$

Posté par re : champ electrostatique 05-11-16 à 15:31

Merci beaucoup!
J ai encore une question:
Sur l axe Oz on considere un fil electrise AB de longueur 2l et de milieu O,portant une distribution lineique de charge $\lambda$ .On me demande de calculer le champ en M situé à la distance r=OM de l'axe Oz.En considerant un point P de AB telle que PM= $PM=\frac{r}{cos\theta }$ , $\theta$ etant l angle que fait PM avec OM, j'ai l expression de dEz $\int d\vec{E_z}=\int \frac{\lambda dl}{4\Pi \epsilon _0}\frac{\vec{r}}{r^{3}}$ , $l=tan\theta r$ $dl=\frac{r}{cos^{2 }\theta }d\theta$
Après en remplacant dl par cette expression et r en PM et en faisant l integration je ne trouve pas la reponse car tous les cosinus et les r se simplifient
Merci

Posté par re : champ electrostatique 05-11-16 à 15:49

Attention, le vecteur champ résultant est colinéaire au vecteur $\vec{OM}$ , pas au fil. Par raison de symétrie, seules les composantes colinéaires à $\vec{OM}$ du vecteur champ élémentaire s'ajoutent, les composantes colinéaires au fil s'annulent deux à deux. Avant le calcul intégral, il faut donc multiplier l'expression du vecteur champ élémentaire par cos(). Un "r" subsiste aussi au dénominateur...

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de physique

Fiches de physique - chimie

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

champ electrostatique

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de physique