Bonjour
L'utilisation du gradient est ici la méthode la plus rapide. Ton résultat est correct.

J'ai posté trop vite. Il faut bien raisonner sur le gradient mais le potentiel est un scalaire pas un vecteur .Pour V  il faut trouver une fonction numérique des coordonnées d'espace qui conduit au vecteur E.

Oui ! C'est ce qui me dérangeait dans ce que je trouve, mais je ne vois pas trop comment faire autrement, enfin comment le formaliser.

Enfin du coup si on met , ce serait bon, non ?

Oui !
L'opérateur gradient s'applique à une fonction scalaire des coordonnées (x,y,z) du point M où on étudie le champ électrostatique. En utilisant la définition du gradient on obtient un système de trois équations :



Ici, les choses sont simples ; il suffit d'intégrer par rapport à x (première ligne) puis de vérifier que l'expression de V obtenue est conforme aux deux autres lignes. Je t'indique ci-dessous la méthode générale qui pourra t'être utile pour des expressions plus compliquées.
L'intégration de la première ligne conduit à :


Une primitive est définie à une constante près dans le cas d'une seule variable. Puisque ici, l'intégration se fait par rapport à x, la « constante » peut dépendre dans le cas général de y et z.
La troisième ligne montre que V ne dépend pas de z. D'où la simplification :


La deuxième ligne devient :


Donc, par identification :



On ne peut déterminer le potentiel qu'à une constante arbitraire près puisque le gradient d'une constante est le vecteur nul. Cela n'est pas physiquement gênant puisque seules les différences de potentiels ont un intérêt physique.

Un peu hors sujet ici mais je préfère rectifier ; dans le cas général d'une source d'extension finie (pas de charge à l'infini) :


Dans le cas général, la distance "r" entre le point M où on cherche à déterminer le potentiel et le point P où se trouve centrée la charge élémentaire dépend de la position de M et doit être considérée comme une variable dans le calcul intégral.

D'accord, merci pour ces éclaircissements !