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Champ électrique créé par une distribution sphérique

Posté par
mwa1 03-03-15 à 18:36

Bonjour,

J'essaie de calculer le champ électrique créé par une sphère de rayon $R$ et de densité surfacique de charge $\sigma$ .

J'ai deux méthodes à ma disposition, mais je n'arrive à appliquer aucune des deux...

Méthode 1: Calcul direct

Etant donné la symétrie sphérique, le champ est uniquement radial.

J'écris donc :

$\vec{E} = \frac{\sigma}{4\pi \epsilon_0}\int{\frac{\vec{PM}}{||\vec{PM}||^3}dS} = \frac{\sigma}{4\pi \epsilon_0}\int{\frac{r-R}{|r-R|^3}dS}\vec{e_r}$

avec $dS = R^2sin\theta d\theta d\phi$ , j'obtiens:

$\vec{E} = \pm \frac{\sigma R^2}{\epsilon_0(r-R)^2}$

Où est mon problème ?

Méthode 2: Théorème de Gauss

$\usepackage{wasysym} \oiint \vec{E}.\vec{dS} = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0}$

Je sais que $Q_{int} = 4\pi R^2 \sigma$ mais je ne vois pas comment extraire l'expression du champ qui est dans l'intégrale

Help ?

Posté par re : Champ électrique créé par une distribution sphérique 03-03-15 à 19:10

Salut,

Le champ électrique recherché est en quel point ?

Le centre du cercle ?

Autre ?

Posté par re : Champ électrique créé par une distribution sphérique 03-03-15 à 19:12

En attendant, une petite vidéo (aller vers 8 min) :

Posté par re : Champ électrique créé par une distribution sphérique 03-03-15 à 19:18

Je cherche l'expression du champ en tout point de l'espace... Je vais regarder cette video

Posté par re : Champ électrique créé par une distribution sphérique 03-03-15 à 19:52

Je crois que j'ai compris pour le théorème de Gauss.

Comme E(M) = E(r) et que dS ne dépend pas de r, on peut sortir E(r) de l'intégrale et on obtient:

$E(r) = \frac{Q_{int}}{4\pi r^2\epsilon_0} = \frac{\sigma R^2}{\epsilon_0 r^2}$ pour r > R

et

$E(r) = 0$ pour r < R

C'est ça ?

Par contre pour la méthode par calcul direct je vois toujours pas...

Posté par re : Champ électrique créé par une distribution sphérique 03-03-15 à 20:04

Ouais, pour la méthode directe, c'est plus long :

Posté par re : Champ électrique créé par une distribution sphérique 03-03-15 à 20:14

Je comprends pourquoi l'exercice suggère d'utiliser Gauss

Merci gbm.

Posté par re : Champ électrique créé par une distribution sphérique 03-03-15 à 20:19

Absolument ^^ !

Tu comprends aussi pourquoi je n'aurais pas eu la foi de faire la méthode directe jusqu'au bout.

Quand tu fais face à une configuration avec des symétries notables (sphère, cylindre, etc.), utilise le théorème de Gauss => c'est direct !

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