Niveau maths sup

Champ électrique créé par une couronne

Posté par
wujud 25-11-16 à 12:06

Bonjour, j'ai un problème avec cet exercice:

On considère une couronne, portion du plan (Oxy) comprise entre les cercles concentriques de centre O et de rayon a et b>a, portant la charge totale Q uniformément répartie sur sa surface. On s'intéresse au calcul du champ créé en un point M(z) de l'axe (Oz)
*********
Les composantes du champ selon ox et ou s'annule donc on doit calculer les composantes du champ selon oz
$Donc: dE=k\frac{dq}{r^2}.cos(\theta )$
[ $dq= \sigma dS$

Ben après je ne sais pas comment faire., j'espere que vous m'aidez
Merci d'avance

Posté par re : Champ électrique créé par une couronne 25-11-16 à 12:46

Hello

1) définis ce que sont theta et r
2) définis dS de manière à pouvoir intégrer dE sur une couronne élémentaire et de a à b

Posté par re : Champ électrique créé par une couronne 25-11-16 à 13:31

Merci pour ta réponse,
C'est ce que j'ai fait:
$Cos\theta =z/r$
$dS=2\pi pdp$
$r^2=p^2+z^2$

donc:
$dE=\frac{1}{4\pi \varepsilon } \frac{\sigma2\pi pdp }{p^2+z^2} \frac{z}{(p^2+z^2)^\frac{1}{2}}$
$dE=\frac{\sigma }{2\varepsilon } \frac{zpdp}{(p^2+z^2)^\frac{3}{2}}$

Et ne là je ne sais plus quoi faire..

Posté par re : Champ électrique créé par une couronne 25-11-16 à 13:46

Un changement de variable peut être $p \rightarrow p^2$ ?

Posté par re : Champ électrique créé par une couronne 26-11-16 à 10:43

Donc

$\vec{dE_z}: \frac{\sigma}{2\epsilon_0}.\frac{zpdp}{(p^2+z^2)^\frac{3}{2}}.\vec{u_z}$

Reste à intégrer pour p variant de a à b

$\vec{E}: \frac{\sigma.z}{2\epsilon_0}\int_a^b\frac{p}{(p^2+z^2)^\frac{3}{2}}dp.\vec{u_z}$

Effectuons le changement de variable $v = p^2$

$\vec{E}: \frac{\sigma.z}{4\epsilon_0}\int_{a^2}^{b^2}\frac{1}{(v+z^2)^\frac{3}{2}}dv.\vec{u_z}$

Soit en final

$\vec{E}: \frac{\sigma.z}{2\epsilon_0}(\frac{1}{\sqrt{a^2+z^2}} - \frac{1}{\sqrt{b^2+z^2}}).\vec{u_z}$

Une résolution élégante de résolution aurait pu être:

- appliquer le Théorème de superposition à 2 disques: l'un chargé $\sigma$ de rayon b et l'autre chargé $-\sigma$ de rayon a

- puis écrire que l'angle solide sous lequel on voit le disque de rayon $r$ depuis un point situé en $z$ est:

$\Omega = 2\pi(1 - \frac{z}{\sqrt{r^2+z^2}})$