Un fluide parfait incompressible s'écoule à l'intérieur d'un tuyau d'axe vertical Oz,de section non uniforme. En
régime permanent, le champ des vitesse au point M du 'uide, de coordonnées cylindriques (r, , z) est de la forme
v = 2Kr.er + K'
z.ez.
1.a) Exprimer la constante K en fonction de la constante positive K. Dans la suite du problème, les résultats ne
devront pas faire intervenir la constante K
, mais seulement la constante K.

1.b) Montrer que l'écoulement considéré est irrotationnel.

2) Déterminer le vecteur accélération a (vecteur a) du fluide en chaque point M(r, , z) de l'écoulement.

3) Déterminer le potentiel des vitesses (r, z) et calculer son laplacien.

4) Déterminer l'équation des lignes de courants et tracer leur allure.

5) Le théorème de schwartz donne d(r, z)=-(r v_z)dr + (r v_r)dz.
Vérifier que le gradient  de (r, z) est perpendiculaire au gradient de et justifier que (r, z)= cst s'identifie aux ligne de courant


J'ai fait les question 1) (on trouve K'=-4K), 2), 3) je trouve 0 comme laplacien, est ce normal ?

Je bloque pour les questions 4 et 5

Merci d'avance pour votre aide
Pour la question 5, est ce que d=0 ??
J'ai d(r v_r).dz= -d(r v_z).dz