Niveau licence

Champ d'une sphère avec Poisson et intégrale

Posté par
Syrocco 03-10-18 à 19:41

Bonjour, je bloque sur un exo!

Soit une distribution volumique de charge $\rho$ définie en sphérique par: $\rho (r) = \rho _{0}\frac{r}{R}$ où $\rho _{0}$ est cste.

1)Quelles sont les invariances?
Distribution de la charge constante par rotation en $\theta$ et $\Phi$ , ça implique que le potentiel V ne dépend que de la variable radiale.

2)Intégrer l'équation de Poisson et donner l'expression de ce potentiel!!
Puisque V ne dépend que de r: $\Delta V =\nabla ^2V=\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}(r^2 \frac{\partial V}{\partial r})+0+0$
D'après l'équation de Poisson:
$\Delta V = \frac{-\rho (r)}{\epsilon_{0}}=\frac{-\rho_{0}r}{\epsilon_{0}R} \iff \frac{1}{r²}\frac{\partial}{\partial r}(r²\frac{\partial V}{\partial r})=\frac{-\rho_{0}r}{\epsilon_{0}R}$
Et LA, rien ne va plus (j exagère un peu...), je passe le $\frac{1}{r²}$ de l'autre côté, j'intègre, je passe le r² de l'autre côté, je réintègre, et j'obtiens:
$V= -\frac{\rho_{0}}{12\epsilon _{0}R}r^3$

Ceci en donnant chaque variable d'intégration nulle, donc à la limite la deuxième constante d'intégration importe peu, puisque c'est un potentiel, mais comment justifier (ou non) le fait que la première soit nulle (si elle ne l'est pas, ça rend cette histoire un peu plus compliquée avec un terme en r)? Et surtout, concernant la formule de mon potentiel, est elle la bonne ?

Merci d'avance et bonne soirée!

Posté par re : Champ d'une sphère avec Poisson et intégrale 03-10-18 à 22:28

Bonsoir
Il faut garder à l'esprit que le potentiel est une fonction continue de r, en particulier en r=R et que, compte tenue des symétries et des invariances :

$\overrightarrow{E}=E_{(r)}.\overrightarrow{u_{r}}$

$\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{grad}(V)\quad soit\quad E_{(r)}=-\frac{dV}{dr}$

Il faut commencer par étudier le potentiel à l'extérieur de la boule chargée. L'intégration de l'équation de Poison conduit simplement à :
$\\ V=\frac{A}{r}+B$

La source de champ étant d'extension finie :

$\lim_{r\rightarrow\infty}V=0\quad donc\quad B=0$

Étude pour r<R : en partant de ce que tu as écrit :

$\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}.\frac{\partial V}{\partial r}\right)=\frac{-\rho_{0}r^{3}}{\epsilon_{0}R}\quad donc\quad r^{2}.\frac{\partial V}{\partial r}=-\frac{\rho_{0}.r^{4}}{4\epsilon_{0}R}+C$

$\frac{\partial V}{\partial r}=-\frac{\rho_{0}r^{2}}{4\epsilon_{0}R}+\frac{C}{r^{2}}$

Le vecteur champ est nul en r=0 pour raisons de symétrie, donc :

$\left(\frac{\partial V}{\partial r}\right)_{r=0}=0\quad donc\quad C=0$

Une nouvelle intégration conduit à :

$V=-\frac{\rho_{0}r^{3}}{12\epsilon_{0}R}+D$

Pour finir, il te faut déterminer les constantes A et D. Cela se fait en considérant la continuité du potentiel et du vecteur champ en r=R :

$\lim_{r\rightarrow R-}V=\lim_{r\rightarrow R+}V\quad et\quad\lim_{r\rightarrow R-}\left(\frac{dV}{dr}\right)=\lim_{r\rightarrow R+}\left(\frac{dV}{dr}\right)$

Je te laisse terminer...