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champ créé par une distribution volumique

Posté par
kamikaz 12-11-21 à 22:30

Bonsoir,

Merci d'avance.

On considère une certaine distribution de charges positives et négatives à symétrie sphérique de centre O, telle que le potentiel électrique V(M) qu'elle crée en un point M distant de r du point O soit de la forme (potentiel dit écranté) :

V(M) = \dfrac{A}{4\pi \epsilon_0 r}\text{exp}\left(-\dfrac{r}{a} \right) où A et a sont des constante positive.

1) Calculer le champ \vec{E}(M) correspondant, en tout point de l'espace (excepté O).

2) À partir de l'expression de ce champ sur une sphère de centre O et de rayon r,

a) Déterminer la charge interne Q(r) contenue dans cette sphère.

b) En déduire la charge totale de la distribution.

3) Calculer la densité volumique de charge \rho, à la distance r, en précisant son signe.

4-a) Montrer qu'au point O, il existe une charge positive finie , dont on précisera la valeur en fonction des données.

b) Quelle est alors l'expression du champ au voisinage de O ?

Je bloque à partir de la 2e question mais si vous avez une explication pour la question 1) je veux bien..

Posté par
vanoisere : champ créé par une distribution volumique 13-11-21 à 00:42

Bonsoir
2a) Il suffit d'appliquer le théorème de Gauss à une sphère de rayon r ; Q(r) désigne la charge intérieure...
2b) La charge totale est la limite de Q(r) quand r tend vers l'infini.
3a Tu peux calculer la charge élémentaire dQ contenue entre la sphère de rayon r et celle de rayon (r+dr)
dQ=(r).d où d désigne le volume élémentaire entre les deux sphères définies précédemment...

Posté par
kamikazre : champ créé par une distribution volumique 13-11-21 à 11:28

2-a) Je trouve Q(r)= \dfrac{A}{4\pi}\left(2a +\text{exp}\left( -\dfrac{r}{a} \right) \right)

Posté par
vanoisere : champ créé par une distribution volumique 13-11-21 à 12:16

Il faudrait vraiment que tu prennes l'habitude de vérifier systématiquement l'homogénéité des résultats que tu proposes...
En particulier ici : il n'est possible d'additionner ou de soustraire que des grandeurs de même dimension physique. Or, tu proposes un résultat où tu additionnes "2a", homogène à une longueur, à une exponentielle, grandeur sans dimension ou, pour être plus rigoureux, grandeur de dimension "1"...

Posté par
kamikazre : champ créé par une distribution volumique 13-11-21 à 21:48

Citation :
Il faudrait vraiment que tu prennes l'habitude de vérifier systématiquement l'homogénéité des résultats que tu proposes...


C'est ce que je n'arrive pas à faire..

Comment est ce qu'on peut le faire ?

Posté par
vanoisere : champ créé par une distribution volumique 13-11-21 à 23:06

Pour l'homogénéité, je t'ai déjà indiqué quelques règles sur les additions et les soustractions.
Quelle expression de \vec{E_{(M)}} obtiens-tu ?

Posté par
kamikazre : champ créé par une distribution volumique 14-11-21 à 18:59

1) Calcul de \vec{E}

\vec E = -\vec{\text{grad}}(V)

\vec{E} = -\dfrac{dV}{dr} \vec e_r

\dfrac{dV}{dr} = \dfrac{d}{dr}\left[\dfrac{A}{4\pi \epsilon_0 r} \text{exp} \left(-\dfrac{r}{a}\right) \right]

= -\dfrac{A}{4\pi \epsilon _0 r }\text{exp} \left(-\dfrac{r}{a}\right)  -\dfrac{1}{a}\left[ 1+\dfrac{r}{a} \right]

\vec E =\dfrac{A}{4\pi \epsilon _0 r }\text{exp} \left(-\dfrac{r}{a}\right) \left[ 1+\dfrac{r}{a} \right]

2-a) Charge interne Q(r)

\oint \oint \vec E .\vec{dS}= \dfrac{Q(r)}{\epsilon _0} = E *S * 4\pi r²

Q(r) = \dfrac{K A}{r²}\text{exp} \left(-\dfrac{r}{a}\right) \left[ 1+\dfrac{r}{a} \right] *\epsilon_0 *4\pi r²

Q(r) = \dfrac{1}{4\pi \epsilon_0 r²} A~ \text{exp} \left(-\dfrac{r}{a}\right) \left[ 1+\dfrac{r}{a} \right] *\epsilon_0 *4\pi r²

Q(r)=A~\text{exp} \left(-\dfrac{r}{a}\right) \left[ 1+\dfrac{r}{a} \right]


2-b) Charge totale de la distribution

r \to +\infty \\ Q(r) \to 0

Donc Q_{\text{totale}}= 0

3) Densité volumique \rho

\rho = \dfrac{dq}{dV}

dV = dr * rd \theta * r \sin \theta d \phi = 4\pi r² dr

\rho (r) = \dfrac{dQ}{4\pi r²dr}= \dfrac{1}{4\pi r²} \dfrac{dQ}{dr}

\dfrac{dQ}{dr}= \dfrac{d}{dr}\left[A~\text{exp} \left(-\dfrac{r}{a}\right) \left( 1+\dfrac{r}{a} \right] \right)

= -\dfrac{A}{a}\text{exp} \left(-\dfrac{r}{a}\right) \left( 1+\dfrac{r}{a} \right]+\dfrac{A}{r}\text{exp} \left(-\dfrac{r}{a}\right)

= -\dfrac{A}{a}\text{exp} \left(-\dfrac{r}{a}\right) \left( 1+\dfrac{r}{a}-1 \right]

=-\dfrac{A}{a²}\text{exp} \left(-\dfrac{r}{a}\right)

\rho(r) =-\dfrac{A}{4\pi r a²}\text{exp} \left(-\dfrac{r}{a}\right)

\rho(r) < 0

4-a)  Montrons qu'au point O, il existe une charge positive finie , dont on précisera la valeur en fonction des données.


Au point O ; r = 0

Mais de quelle charge s'agit il ici ; intérieure ou totale ?

Posté par
vanoisere : champ créé par une distribution volumique 14-11-21 à 19:19

Toujours des problèmes d'homogénéité... Tu connais l'expression générale du potentiel créé par une charge ponctuelle. Tu sais aussi que l'exponentielle d'une grandeur n'a de sens que si cette grandeur est sans dimension ( de dimension ”1”). De ces deux remarques, on déduit que dans l'expression du potentiel fourni :

”A” possède la dimension d'une charge électrique ; ”a” possède la dimension d'une longueur.

Citation :
\vec{E}=\dfrac{A}{4\pi\epsilon_{0}r}\text{exp}\left(-\dfrac{r}{a}\right)\left[1+\dfrac{r}{a}\right].\overrightarrow{e_{r}}


Cette formule est nécessairement fausse. Pas de problème à ajouter ”1” à (r/a) puisque (r/a) est sans dimension mais, compte tenu de l'expression générale du vecteur champ créé par une charge, un carré de longueur apparaît nécessairement au dénominateur de l'expression de E. Il te faut absolument revoir comment on calcule la dérivée d'un produit...

\dfrac{dV}{dr}=\dfrac{d}{dr}\left[\dfrac{A}{4\pi\epsilon_{0}r}\text{exp}\left(-\dfrac{r}{a}\right)\right]=\exp\left(-\dfrac{r}{a}\right)\cdot\dfrac{d}{dr}\left(\dfrac{A}{4\pi\epsilon_{0}r}\right)+\dfrac{A}{4\pi\epsilon_{0}r}\cdot\dfrac{d}{dr}\left[\text{exp}\left(-\dfrac{r}{a}\right)\right]

Posté par
kamikazre : champ créé par une distribution volumique 14-11-21 à 20:29

J'avais fait une erreur en recopiant..

1) Calcul de \vec{E}

\vec E = -\vec{\text{grad}}(V)

\vec{E} = -\dfrac{dV}{dr} \vec e_r

\dfrac{dV}{dr} = \dfrac{d}{dr}\left[\dfrac{A}{4\pi \epsilon_0 r} \text{exp} \left(-\dfrac{r}{a}\right) \right]

= -\dfrac{A}{4\pi \epsilon _0 r }\text{exp} \left(-\dfrac{r}{a}\right)  -\dfrac{1}{a} \text{exp} \left(-\dfrac{r}{a}\right)  * \dfrac{A}{4\pi \epsilon_0 r}

\vec E =-\dfrac{A}{4\pi \epsilon _0 r }\text{exp} \left(-\dfrac{r}{a}\right) \left[ 1+\dfrac{r}{a} \right] \vec e_r

Posté par
vanoisere : champ créé par une distribution volumique 14-11-21 à 20:57

Tu ajoutes une erreur de signe par rapport à la situation antérieure et tu n'as pas compris mon message sur la notion d'homogénéité...
Que vaut la dérivée de (1/r) par rapport à r ?

Posté par
kamikazre : champ créé par une distribution volumique 14-11-21 à 23:09

-1/r²

Posté par
vanoisere : champ créé par une distribution volumique 14-11-21 à 23:18

Oui. L'expression de E doit donc faire intervenir un terme en r2 au dénominateur comme prévu par l'analyse dimensionnelle (voir mon message du  14-11-21 à 19:19).

Posté par
kamikazre : champ créé par une distribution volumique 15-11-21 à 08:38

\vec{E}=\dfrac{A}{4\pi \epsilon_0 r²}\text{exp}\left(1+\dfrac{r}{a}\right) \vec e_r

Posté par
kamikazre : champ créé par une distribution volumique 15-11-21 à 08:41

Ce sont des erreurs de recopie..

À la 2e question j'utilise la bonne expression de E et dans la suite aussi..

Posté par
vanoisere : champ créé par une distribution volumique 15-11-21 à 12:48

Citation :

\oint \oint \vec E .\vec{dS}= \dfrac{Q(r)}{\epsilon _0} = E *S * 4\pi r²

Le "S" est en trop dans la formule.
4a : la charge ponctuelle en O est la valeur de Q(r) si r=0.
Le champ n'est pas défini sur une charge ponctuelle ; la valeur de E en r=0 n'est pas définie.
PS : cette distribution de charge modélise un atome d'hydrogène : la charge centrale ponctuelle positive correspond au noyau et la distribution volumique négative modélise l'électron en mouvement désordonné autour du noyau.

Posté par
kamikazre : champ créé par une distribution volumique 15-11-21 à 13:09

Ok donc Q = A

Citation :
PS : cette distribution de charge modélise un atome d'hydrogène : la charge centrale ponctuelle positive correspond au noyau et la distribution volumique négative modélise l'électron en mouvement désordonné autour du noyau.


Comment faites-vous pour le savoir ?

Vous aviez déjà eu une application sur l'électrostatique ?

Posté par
vanoisere : champ créé par une distribution volumique 15-11-21 à 14:28

Citation :

Comment faites-vous pour le savoir ?

Ce problème contient d'autres questions qui amènent à cette conclusion mais ces autres questions ne font pas partie de ton énoncé.

Posté par
kamikazre : champ créé par une distribution volumique 15-11-21 à 16:03

Ah ok, pourriez vous me mettre le lien s'il vous plait ?

Posté par
vanoisere : champ créé par une distribution volumique 15-11-21 à 20:49

L'essentiel, en plus de ce que tu as déjà étudié, est au niveau de la question 6.

Posté par
kamikazre : champ créé par une distribution volumique 15-11-21 à 23:45

Ok merci beaucoup


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