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Cas d'une étuve thermique

Posté par
rom1921 08-03-18 à 12:50

Bonjour, j'ai besoin d'éclaircissement concernant cet exercice :

On considère une étuve thermique chauffée par une résistance. Le réglage de la puissance s'effectue par un gradateur monophasé.
La température ambiante est de $\theta a=25°C$ . Ilestprévu que le chauffage permet d'obtenir une température interne $\theta$
de l'étuve jusqu'à 200°C. Le capteur de température est au platine Pt100 et mesure $\theta$ .
La résistance R vaut 14 $\Omega$ . La valeur efficace de la tension ve(t) du réseau est de 230V et la fréquence 50Hz.

1)Exprimer en fonction de l'angle $\delta$ (en radians) la valeur efficace du courant i(t) traversant la résistance R. Faire l'application avec $\delta =\pi /2$ .

Voilà mon résultat : gradateur monophasé donc

$I=U/R=230/14=16.4A \\ \\ Ieff=I0\sqrt{(1-\frac{\delta }{\pi }+\frac{sin2\delta }{2\pi })}=11.6A$

2)Exprimer en fonction de l'angle $\delta$ la puissance dissipée dans la résistance R. Faire l'application numérique pour $\delta =\pi /2$ .

J'ai trouvé :

$P=R\times Ieff^{2}=14\times 11.6^{2}=1884 W.$

Si P(t) est la puissance dissipée par effet Joule dans la résistance R, on admet l'équation différentielle du système constitué par l'étuve :

$\tau\frac{d\theta (t)}{dt}+\theta (t)=Rth\times P(t)+\theta a$

$avec Rth= 0.12°C/W , \tau =200s\: et \, \theta a=25°C$

3)Justifier l'expression de l'équation différentielle.
Ici pas de problème j'ai retrouver l'équation en partant de l'équation de transfert de chaleur

4)Déterminer l'expression de la température finale de l'étuve $\theta fin(\delta )\: selon\: l'angle\: \delta$ .

C'est ici que je bloque, la solution de cette équation est de type $\theta =Rth.P(1-e^{-\frac{t}{\tau }})+\theta a.$ pour t=0 et que donc pour la température finale on a $\theta f=\theta a+Rth.P$ mais je ne vois pas comment déterminer $\theta fin(\delta )\: selon l'angle\: \delta$

Je vous remercie pour vos réponses.

Posté par re : Cas d'une étuve thermique 08-03-18 à 13:51

Salut,

2)

Attention, on te demande : "Exprimer en fonction de l'angle $\delta$ la puissance dissipée dans la résistance R.

Il te faut donc là une expression en littéral... que tu n'as pas écrite.

Et puis, à partir de cette relation, calculer la valeur numérique pour delta = Pi/2
---
Autre remarque, il ne faut pas repartir d'une valeur arrondie pour poursuibvre un calcul ...

Ieff = 11,616754... A (on affiche 11,6 A)

Mais on DOIT repartir de la valeur non arrondie pour poursuivre --> P = 14 * (11,616754...)² = 1889 W

que tu dois (ou non ???) arrondir à 2 chiffres significatifs.

Posté par re : Cas d'une étuve thermique 08-03-18 à 14:03

4)

P = R.I²

P = R * (Ve(eff)/R)² * (1 - delta/Pi + sin(2delta)/(2Pi))

P = (Ve(eff)²/R) * (1 - delta/Pi + sin(2delta)/(2Pi))

avec Ve(eff) = 230 V
-----

La température finale, c'est pour t --> +oo, et alors e^(-t/tau) = 0

La température finale est donc : $\theta_f = R_{th} * P + \theta_a$

avec P = (Ve(eff)²/R) * (1 - delta/Pi + sin(2delta)/(2Pi))

Sauf distraction.

Posté par re : Cas d'une étuve thermique 08-03-18 à 14:31

Merci pour votre réponse , effectivement je n'ai pas précisé pour la 2) mais j'ai trouver l'expression suivante : $P=R\times I^{2}(1-\frac{\delta }{\pi }+\frac{sin2\delta }{2\pi })$ . J'ai rectifié mon calcul avec la valeur non arrondi.

Pour la 4, je connais cette formule mais dans la condition ou la tension du générateur est sinusoïdale qui permet d'écrire $v(t)=V\sqrt{2} sin\, \theta$ et donc l'expression de P conduit a celle que vous avez énoncé.
Mais ne faut-il pas rester avec l'expression de P vue en 2) ? Car nous avons pas d'indication avec le fait que la tension est sinusoïdale ?

Posté par re : Cas d'une étuve thermique 08-03-18 à 15:50

Pour moi la tension réseau est sinusoïdale 230 V efficace 50 Hz

Et le Veff de la relation P = (Ve(eff)²/R) * (1 - delta/Pi + sin(2delta)/(2Pi)) est bien 230 V

Cela ne signifie pas que la tension aux bornes de R soit sinusoïdale.

La relation de la question 2 ... tu ne l'as pas écrite, comme je te l'ai déjà fait remarquer.

Elle aurait dû être : P = (Ve(eff)²/R) * (1 - delta/Pi + sin(2delta)/(2Pi))

Qui pour le cas particulier ou delta = Pi/2 donne : P = 230²/14 * (1 - 1/2 + 0/(2Pi)) = 230²/28 = 1889 W

On retrouve évidemment (aux erreurs dues aux arrondis près), la valeur de P = R.I² calculée numériquement comme tu l'avais fait... en négligeant ce qui était demandé, soit établir en littéral la relation de P(delta) ... que j'ai écrite ci-dessus.

Posté par re : Cas d'une étuve thermique 08-03-18 à 16:42

D'accord, dans mon cours j'avais compris que cette formule était applicable pour une tension réseau sinusoïdale mais également aux bornes de R, c'est pour cela que je n'avais pas appliqué cette formule à la question 2 je vais donc y remédier.

Pour la dernière question de mon exercice on me demande la valeur de $\delta \: pour\: \theta fin(\delta )=200°C$

Pour répondre j'ai isolé delta dans l'expression de P pour pouvoir ensuite intégrer l'expression de delta dans l'expression de la température finale mais je bloque dans mon développement :

$P=(\frac{V^{2}}{R})\: (1-\frac{\delta }{\pi }+\frac{sin2\delta }{2\pi })$

$(1-\frac{\delta }{\pi }+\frac{sin2\delta }{2\pi })=\frac{P.R}{V^{2}}$

$-2\delta +2sin(\delta )cos(\delta )=((\frac{PR}{V^{2}}-1)2\pi )$

Ai-je adopté le bon raisonnement ?

Posté par re : Cas d'une étuve thermique 08-03-18 à 19:10

200 = 0,12 * P + 25

P = 1458 W

P = (Ve(eff)²/R) * (1 - delta/Pi + sin(2delta)/(2Pi)) = 1458

230²/14 * ((1 - delta/Pi + sin(2delta)/(2Pi)) = 1458

1 - delta/Pi + sin(2delta)/(2Pi) = 0,38586

delta/Pi - sin(2delta)/(2Pi) = 0,614

delta - sin(2delta)/2 = 1,93 (résolution par calculette graphique).

delta = 1,752 rad , soit 100°

Sauf distraction. vérifie.

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