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Calotte sphérique de distribution surfacique.
Bonsoir,
Une calotte sphérique de rayon est chargée électriquement avec une charge surfacique avec
étant l'angle entre le rayon de la calotte et son axe.
1) Calculer la charge de la calotte.
2) En déduire la charge surfacique moyenne d'une calotte demi-sphérique.
Je bloque déjà sur le 1).
Pourriez vous m'aider à faire une figure ?
Bonsoir
Pour vraiment t'aider de façon efficace, il faudrait un schéma qui précise les orientations des angles. Si aucun schéma n'est fourni, essaye d'en faire un qui utilise les coordonnées sphériques.
A priori, tu travailles en coordonnées sphériques. L'idée consiste à exprimer la charge élémentaire porté par la couronne comprise entre 
et +d puis à intégrer sur la sphère entière puis sur une demie sphère.
OK pour la figure ; on s'intéresse donc à la couronne élémentaire découpée sur la sphère entre le cercle d'angle polaire (celui passant par M sur ta figure) et le cercle infiniment voisin d'angle polaire (+d). L'aire élémentaire dS de cette surface est le produit du rayon de ce cercle
: R.sin() par la largeur élémentaire de la couronne :
R.d :
dS = R2.sin().d
La suite ressemble aux études précédentes...
Est ce qu'on obtiendrait le même résultat si on décomposait la calotte en anneaux de largeur infiniment petite et de position
?
et dIl faut utiliser le découpage en couronne que je t'ai indiqué dans la mesure où la valeur de la densité surfacique de charge dépend de . Ainsi, la densité surfacique est la même en tout point de la couronne et on peut facilement exprimer la charge élémentaire de la couronne en fonction de la charge surfacique.
PS : la lettre "
" est traditionnellement réservée aux densités surfaciques de charges alors que la lettre "
" est réservée aux densités volumiques de charges.
L'aire élémentaire dS de cette surface est le produit du rayon de ce cercle
: R.sin(
) par la largeur élémentaire de la couronne :
R.d
:
dS = R2.sin(
).dMais le
Je me suis intéressé d'entrée à une couronne élémentaire dans la mesure où c'est la méthode que tu as spontanément utilisée pour le disque, cette méthode étant tout à fait acceptée les jours de concours ou d'examens. Je veux bien repartir d'un peu plus loin. L'aire d2S de la surface élémentaire rectangulaire entourant le point M peut se démontrer comme le produit de deux déplacements élémentaires autour du point M :
1° : un déplacement à fixe où 
augmente de d : c'est un petit arc de cercle de rayon R.sin(). Ce déplacement élémentaire vaut :
R.sin().d .
2° un déplacement élémentaire à fixe où augmente de d ; c'est un déplacement suivant de longueur élémentaire : R.d
.
La surface élémentaire autour de M a ainsi pour aire :
d2S=R2.sin().d.d.
Pour obtenir la couronne dont j'ai déjà parlé, il suffit d'intégrer par rapport à de 0 à 2
... D'où l'aire de la couronne élémentaire :
dS=2.R2.sin().d.
Il s'agit du produit de l'épaisseur de la couronne (R.d) par le périmètre de la couronne :
2R.sin()
Désolé : dans un message précédent, j'ai parlé de rayon au lieu de périmètre ce qui m'a conduit à omettre un facteur "2"... Toute mes excuses pour cette étourderie !
Pour la 1 : si tu notes o l'angle telle que la calotte soit comprise entre =0 et =o, l'expression de q que tu fournis est correcte. Pour la question 2 : il n'est question que de calotte hémisphérique, donc o=/2 rad.
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