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calculs avec fonction d'onde

Posté par
ferality 05-04-21 à 15:28

Bonjour,

J'ai un problème de niveau L2 physique que je ne comprend pas... le voici :

1. On considère une impulsion décrite par la fonction (à t = 0, et avec x, y en mètre) :
y(x, t = 0) = 0,2\sin^2(x) avec 0 < x < π qui se propage vers la droite à une vitesse de 15 m/s.
Il est précisé que l'argument du \sin^2 reste toujours entre 0 et π, la fonction vaut zéro ailleurs.
Quelle est l'expression de y(x, t) ?

-- ici j'ai répondu : y(x,t) = 0,2\sin^2(x - 15t) car c'est dans mon cours. Mais j'ai l'impression que c'est faux car ça ne prend pas en compte que l'argument du sin doit toujours être entre 0 et \pi...

2. Quelle est l'expression de la même impulsion mais qui se propage vers la gauche?
-- ici j'ai répondu : y(x,t) = 0,2\sin^2(x + 15t)

3. Une onde est décrite par l'équation \psi(x, t) = 20\sin(2\pi(3t−15x)), l'amplitude est en cm, et la
distance en mètre (m). Après 15s quelle est la position d'un point qui est à 6 m de la source
de l'onde (que l'on prendra en zéro) ? Et quelle est la vitesse d'une onde de pulsation 8 rad/s,
produisant un déplacement de la moitié de l'amplitude à t = 20 s et à une distance de 6 m de l'origine ?

-- ici pour la première question, je ne comprend pas du tout ce que je suis censé faire. Je pense que calculer simplement \psi(6,15) n'est pas la bonne solution, mais je ne vois pas quoi faire d'autre :/

Deux ondes avec une différence de phase, mais par ailleurs identiques se propagent dans la même direction sur une corde. L'amplitude de chaque onde est A.

4. Quelle est la différence de phase entre les deux cordes si l'onde résultante a une amplitude de
0,5A ? On donnera la réponse en radians et en degrés.
-- je ne connais pas de méthode pour calculer des choses comme ça

Posté par
feralityre : calculs avec fonction d'onde 05-04-21 à 15:29

Pour la 3. l'équation est : \psi(x, t) = 20\sin(2\pi(3t - 15x))

Merci d'avance pour votre réponse et désolé du dérangement

Posté par
gts2re : calculs avec fonction d'onde 05-04-21 à 15:41

Bonjour,

1- OK pour la fonction, mais il faut en effet rajouter les valeurs de xmin et xmax. Pour cela, faites un dessin de l'onde à l'instant t, le xmin et xmax devrait alors vous paraitre évidents.
2- OK
3- \psi(6,15) est bien ce que l'on vous demande. Par contre, j'ai du mal à comprendre le sens de la deuxième partie.
4- Sur une corde, dans le cadre de votre cours, le comportement est linéaire, donc qu'elle est l'onde résultante ?

Posté par
gts2re : calculs avec fonction d'onde 05-04-21 à 15:42

1- les ... devraient

Posté par
feralityre : calculs avec fonction d'onde 05-04-21 à 16:21

Bonjour,

Alors j'ai fait un plot de la fonction ici :

Et je vois que les "y" sont toujours entre 0 et 2, mais pour les limites des "x", je ne vois pas vraiment de quoi il s'agit... x_{min} et x_{max} doivent figurer à l'intérieur de la fonction sin^2 ?

Posté par
feralityre : calculs avec fonction d'onde 05-04-21 à 16:37

J'ai envie de faire quelque chose comme ça : y(x,t) = 0,2\sin^2(\pi(x - 15t)) avec d'une façon où d'une autre faire en sorte que "x - 15t" soit toujours entre 0 et 1.

Mais après pour faire en sorte que "la fonction vaut zéro ailleurs.", je ne vois pas comment faire techniquement.

Posté par
gts2re : calculs avec fonction d'onde 05-04-21 à 16:38

Quand je parlais d'un graphe, je parlais d'un graphe de l'onde, tracé en appliquant la définition d'une onde progressive.

Posté par
gts2re : calculs avec fonction d'onde 05-04-21 à 16:46

Citation :
je ne vois pas comment faire techniquement


Votre est en trop : vous n'obtenez pas la bonne fonction pour t=0.

  y(x,t) = 0,2\sin^2(x - 15t) pour (\pi+15t<x<15t) et y(x,t)=0 sinon, me parait tout ce qu'il y a de plus correct "techniquement".

Essayez d'éviter de mélanger littéral et numérique : c'est difficile à suivre, et aussi difficilement contrôlable.

Posté par
feralityre : calculs avec fonction d'onde 05-04-21 à 17:41

gts2 @ 05-04-2021 à 16:38

Quand je parlais d'un graphe, je parlais d'un graphe de l'onde, tracé en appliquant la définition d'une onde progressive.


Le graphe d'une onde est différent du graphe de sa fonction d'onde ? Quand je cherche "graphe d'une onde" sur Google je tombe sur des graphes de fonctions d'onde (des courbes sinusoïdales) alors je ne suis pas sûr de comprendre.

D'accord je vois pour la fonction, merci ! Et je tâcherai de ne plus mélanger littéral et numérique à l'avenir .

Pour la deuxième partie de la question 3 : "...  Et quelle est la vitesse d'une onde de pulsation 8 rad/s, produisant un déplacement de la moitié de l'amplitude à t = 20 s et à une distance de 6 m de l'origine ?",

Je vois qu'on peut avoir le déplacement à t=20s et à la distance de 6m de l'origine en posant \psi(6,20), mais on ne peut pas avoir d'équation en posant \psi(6,20)=10 car on aura pas de variable libre donc je ne vois pas ce qu'on peut faire...

Posté par
gts2re : calculs avec fonction d'onde 05-04-21 à 17:50

Quand je parlais du graphe de l'onde, c'était pour indiquer que l'onde était bornée dans l'espace (impulsion) alors que vous aviez tracé la fonction mathématique avec x allant de - à +.
Mais si on définit la fonction complètement avec les bornes, c'est bien la même chose.

Pour ce qui est de la partie que je ne comprends pas, je suppose qu'il y a un sous-entendu sur l'écriture de l'onde, parce que sans indication supplémentaire, on peut avoir une infinité de célérité.

Posté par
feralityre : calculs avec fonction d'onde 05-04-21 à 19:17

gts2 @ 05-04-2021 à 15:41


4- Sur une corde, dans le cadre de votre cours, le comportement est linéaire, donc qu'elle est l'onde résultante ?


Mon cours ne dit pas grand chose à ce sujet malheureusement... cela donne une nouvelle onde dont la phase est la somme des phases des ondes sommées ? Et l'amplitude est la somme des amplitudes aussi ?

Posté par
gts2re : calculs avec fonction d'onde 05-04-21 à 19:37

Si c'est linéaire, la réponse est la somme des réponses, donc y(x,t)=y1(x,t)+y2(x,t).

Posté par
feralityre : calculs avec fonction d'onde 05-04-21 à 20:32

gts2 @ 05-04-2021 à 19:37

Si c'est linéaire, la réponse est la somme des réponses, donc y(x,t)=y1(x,t)+y2(x,t).

J'ai fait :

A\sin(\omega t - kx + \phi) + A\sin(\omega_1 t - k_1 x + \phi_1) = (1/2)A\sin(\omega_2 t - k_2 x + \phi_2)
\sin(\omega t - kx + \phi) + \sin(\omega_1 t - k_1 x + \phi_1) = (1/2)\sin(\omega_2 t - k_2 x + \phi_2)
e^{j(\omega t - kx + \phi)} + e^{j(\omega_1 t - k_1 x + \phi_1)} = (1/2)e^{j(\omega_2 t - k_2 x + \phi_2)}
e^{j((\omega + \omega_1)t - (k + k_1)x + \phi + \phi_1)} = (1/2)e^{j(\omega_2 t - k_2 x + \phi_2)}

C'est la bonne voie ? Je ne vois pas comment ça va me mener à l'angle de la "différence de phase"... je n'ai aucune valeur définie dans mes équations.

Posté par
gts2re : calculs avec fonction d'onde 05-04-21 à 20:35

C'est la bonne voie, mais vous vous compliquez la vie :
"Deux ondes avec une différence de phase, mais par ailleurs identiques"
Donc même et k. Cela devrait sérieusement alléger les calculs.

Posté par
feralityre : calculs avec fonction d'onde 05-04-21 à 21:08

Ah mince j'avais oublié ça, donc j'ai repris le calcul et j'ai :

e^{j(2\omega t - 2kx + \phi + phi_1)} = (1/2)e^{j(\omega_2 - k_2 x + \phi_2)}

j(2\omega t - 2kx + \phi + \phi_1) = ln(1/2) + j(\omega_2 - k_2 x + \phi_2)

j2\omega t - j2kx + j\phi + j\phi_1 = ln(1/2) + j\omega_2 - jk_2 x + j\phi_2

(ce "j" de partout est gênant, mais c'était encore plus gênant d'avoir sin(truc)=(1/2)sin(truc))

Par identification : j\phi_2 + ln(1/2) = j\phi + j\phi_1. On prend l'exponentielle de chaque côté et :

sin(\phi_2)*(1/2) = sin(\phi)*sin(\phi_1) donc \phi_2 = \arcsin\left[2sin(\phi)sin(\phi_1)\right]

Posté par
gts2re : calculs avec fonction d'onde 05-04-21 à 22:42

Je ne comprends rien à vos calculs :

ligne 1 : en norme cela donne 1=1/2
ligne 2 : d'où sort le ln(1/2) ?
pourquoi avez-vous trois phases (il n'y a que deux signaux)
d'où sort le 2 ?
où est la somme des deux ondes ?

- avec la trigo : sin(\omega t-kx+\phi_1)+sin(\omega t-kx+\phi_2)= ...
il suffit de terminer le calcul.
- en complexe, qui est une bonne idée, mais simplifiez : raisonnez en amplitude complexe :
e^{j \phi_1}+e^{j \phi_2}=e^{j (\phi_1+\phi_2)/2} \times ( ? ) : que vaut le point d'interrogation dans la parenthèse ?

Posté par
feralityre : calculs avec fonction d'onde 05-04-21 à 22:49

sin(\omega t-kx+\phi_1)+sin(\omega t-kx+\phi_2)=... je ne sais pas du tout quoi faire de ça, je ne sais pas calculer avec des sinus, c'est pour ça que je passe par les complexes.

e^{j \phi_1}+e^{j \phi_2}=e^{j (\phi_1+\phi_2)/2} \times ( ? ) je n'en ai aucune idée non plus je ne vois pas pourquoi il y a un facteur1/2 dans l'exposant

Posté par
feralityre : calculs avec fonction d'onde 05-04-21 à 22:53

Pour répondre à vos questions du début, mes calculs viennent d'ici :

\sin(\omega t - kx + \phi) + \sin(\omega t - k x + \phi_1) = (1/2)\sin(\omega_2 t - k_2 x + \phi_2)
e^{j(2\omega t - 2kx + \phi + \phi_1)} = (1/2)e^{j(\omega_2 - k_2 x + \phi_2)}

mais en fait je pense que c'est faux car je considère là que sin(x) = e^{j(x)} et ça doit être faux.

Posté par
gts2re : calculs avec fonction d'onde 05-04-21 à 22:55

Vous ne connaissez pas sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2) cos((a-b)/2) ?

Pour le complexe, la mise en facteur de la demi somme des phases est une astuce classique (décomposition somme/différence) :

\phi_1=\frac{\phi_1+\phi_2}{2}+\frac{\phi_1-\phi_2}{2}
Que vaut alors \phi_2 et qu'y-a-t-il dans (?)

Posté par
feralityre : calculs avec fonction d'onde 05-04-21 à 23:04

gts2 @ 05-04-2021 à 22:55

Vous ne connaissez pas sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2) cos((a-b)/2) ?


Non je ne connaissais pas

gts2 @ 05-04-2021 à 22:55


Pour le complexe, la mise en facteur de la demi somme des phases est une astuce classique (décomposition somme/différence) :

\phi_1=\frac{\phi_1+\phi_2}{2}+\frac{\phi_1-\phi_2}{2}
Que vaut alors \phi_2 et qu'y-a-t-il dans (?)


\phi_2= \frac{\phi_2+\phi_1}{2}+\frac{\phi_2-\phi_1}{2}

dans (?) on  a : e^{j(\phi_1 - \phi_2)/2} + e^{j(\phi_2 - \phi_1)/2}

Posté par
gts2re : calculs avec fonction d'onde 05-04-21 à 23:14

Citation :
\sin(\omega t - kx + \phi) + \sin(\omega t - k x + \phi_1) = (1/2)\sin(\omega_2 t - k_2 x + \phi_2)

a toutes les chances d'être faux , pas les mêmes phases à droite et à gauche, pas la même pulsation à droite et à gauche, ensuite si vous prenez des cas particuliers (x=0...), vous arrivez à 1=1/2

Citation :
e^{j(2\omega t - 2kx + \phi + \phi_1)} = (1/2)e^{j(\omega_2 - k_2 x + \phi_2)}


Le passage en complexe n'est pas  sin(x) = e^{j(x)}, mais à sin(x), on associe le complexe e^{j(x)}. Et encore : vu que  la définition usuelle est grandeur réelle=partie réelle de la grandeur complexe, on obtient plutôt un cosinus qu'un sinus : cos(x)=\rm{Re}(e^{jx})

Ce qui fait que le deuxième terme est presque correct, et je crois avoir compris le premier terme : la somme de deux exponentielles n'est pas l'exponentielle de la somme !

  

Posté par
gts2re : calculs avec fonction d'onde 05-04-21 à 23:17

Citation :
dans (?) on  a : e^{j(\phi_1 - \phi_2)/2} + e^{j(\phi_2 - \phi_1)/2}

C'est bien cela, et on reconnait une fonction trigonométrique : laquelle ?
Une piste : c'est cohérent avec la trigonométrie.

Posté par
feralityre : calculs avec fonction d'onde 05-04-21 à 23:23

Oui c'est vrai je me suis confondu avec les exponentielles :/ je ne comprend pas comment faire ces calculs avec les exponentielles et comment les ramener à des sinus et cosinus, et l'opération inverse. Bref il est tard et le rendu et tout à l'heure donc je vais rendre cette question non faite ça n'est pas grave, je suis trop fatigué pour refaire les calculs et je n'ai plus de temps. Je repasserai sur tout ça un autre jour pour comprendre.

Merci beaucoup pour votre aide gts2

Posté par
feralityre : calculs avec fonction d'onde 05-04-21 à 23:30

gts2 @ 05-04-2021 à 23:17

Citation :
dans (?) on  a : e^{j(\phi_1 - \phi_2)/2} + e^{j(\phi_2 - \phi_1)/2}

C'est bien cela, et on reconnait une fonction trigonométrique : laquelle ?
Une piste : c'est cohérent avec la trigonométrie.


Je dirais 2cos((\phi_1 - \phi_2)/2)

Posté par
gts2re : calculs avec fonction d'onde 06-04-21 à 06:11

C'est bien cela, il n'y a plus qu'à dire que cela vaut 0,5 pour trouver votre déphasage.


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