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calcul integrale de sin(w0.t) par sin²(w1.t)

Posté par
raphaelb 03-05-19 à 10:38

Bonjour
dans un ouvrage de physique on a à évaluer l'intégrale suivante:
(*)= sintsin²t dt de 0 à t'2 où t'2 est tel que sin( t'2) = 1
et avec << (enveloppe du signal).

Il est dit que comme l'intégrale de sin² sur une période vaut 1/2 on peut écrire:
(*)=1/2* sintdt

Je ne vois pas la justification qui autorise à scinder cette intégrale d'un produit en un produit d'intégrales.
Connaîtriez vous cette justification?

Merci par avance pour votre aide

Posté par re : calcul integrale de sin(w0.t) par sin²(w1.t) 03-05-19 à 18:56

Bonjour
J'ai bien une petite idée mais je ne suis pas mathématicien. Tu obtiendras sans doute quelque chose de plus rigoureux sur le forum de l'île des maths. Il faut bien comprendre que l'intervalle d'intégration est très grand devant la période T, de sorte qu'il est possible de considérer, en bonne approximation t'2 comme un multiple de T :

$t'_{2}\approx N.T\quad avec\quad N\gg1$

$In=\int_{0}^{t'_{2}}\sin^{2}\left(\omega.t\right)\cdot\sin\left(\Delta\omega.t\right).dt=\int_{0}^{T}\sin^{2}\left(\omega.t\right)\cdot\sin\left(\Delta\omega.t\right).dt+\int_{T}^{2T}\sin^{2}\left(\omega.t\right)\cdot\sin\left(\Delta\omega.t\right).dt+...$

$In\approx\sum_{k=1}^{N}\left[\int_{\left(k-1\right)T}^{kT}\sin^{2}\left(\omega.t\right)\cdot\sin\left(\Delta\omega.t\right).dt\right]$

La variation de $\sin\left(\Delta\omega.t\right)$ étant extrêmement lente devant celle de $\sin^{2}\left(\omega.t\right)$ sur une période T. Il est donc possible de considérer $\sin\left(\Delta\omega.t\right)$ comme constant au cours du calcul de l'intégrale. Cela conduit à :

$In\approx\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{N}\sin\left[\Delta\omega.\left(k-\frac{1}{2}\right)T\right].T$

On retrouve là me semble-t-il une intégrale au sens de Riemann puisque T est considéré ici comme très petit.

$In\approx\frac{1}{2}\int_{0}^{t'_{2}}\sin\left(\Delta\omega.t\right).dt$

Posté par re : calcul integrale de sin(w0.t) par sin²(w1.t) 04-05-19 à 11:14

Je viens de faire une rapide simulation numérique pour tester la pertinence de l'approximation. Pas de problème à condition que soit vraiment très petit devant : 10⁵ fois plus petit dans la simulation reproduite ci-dessous. En choisissant un rapport de 100, l'approximation est très grossière : le rapport des deux intégrales est de 1,42 seulement...

calcul integrale de sin(w0.t) par sin²(w1.t)

Posté par re : calcul integrale de sin(w0.t) par sin²(w1.t) 07-05-19 à 15:56

Bonjour
Merci pour votre réponse et le calcul.
Un rapport de 10^5 me semble vraiment excessif. Je vais essayer de voir si une justification théorique existe.

Merci à vous

Raphaelb

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