Niveau école ingénieur

Calcul Energie Potentielle d'un Ressort

Posté par
John_S 26-07-12 à 20:46

Bonjour,

Cela fait plusieurs jours que je suis bloqué sur le problème suivant:
Je dois calculer l'énergie potentielle du bloc de masse, m, soumis au système dont voici le croquis (voir schéma).

Par définition,  la variation de l'énergie potentielle, notée U(x), s'exprime comme ceci:

U(x) - U(0) = - W_0->x = $-\int_{0}^{x}\vec{F} .\;\vec{dr}$

La force du ressort, noté $\vec{F}_{r}^{}$ , se définit comme ceci :

$\vec{F}_{r}^{}$ = $-k\,x$\;\overline{1}_{x}^{}$$        où $\overline{1}_{x}^{}$$ est le vecteur unitaire.

Dès lors le calcul de l'énergie potentielle due à la force du ressort correspond à :

U(x) - U(0) = - W_0->x = $-\int_{0}^{x}\;(-kx$\;\overline{1}_{x}^{}$) \;\vec{dr}$

U(x) - U(0) = - W_0->x = $-\int_{0}^{x}\;-kx$\;(\overline{1}_{x}^{}$ \;\vec{dr})$        où $\overline{1}_{x}^{}$ . \;\vec{dr}$ est un produit scalaire tel que $\overline{1}_{x}^{}$ . \;\vec{dr}=1.dx.cos(\pi)=-dx$ puisque le vecteur $\overline{1}_{x}^{}$$ et $\vec{dr}$ sont alignés mais de sens opposé.

Finalement, je trouve :

U(x) - U(0) = - W_0->x = $-\int_{0}^{x}\;-kx\;(-dx)= -\frac{1}{2}\; k$x_{}^{2}$$

En choisissant U(0) nul, je trouve que l'énergie potentielle du ressort est :

U(x) = $-\frac{1}{2}\; k$x_{}^{2}$$

Or, je sais que la vraie réponse devrait être U(x) = $\frac{1}{2}\; k$x_{}^{2}$$ mais je ne parviens pas à trouver où se trouve l'erreur dans mon raisonnement.

D'avance merci de m'éclairer.

J.

$Calcul Energie Potentielle d\'un Ressort$

Posté par re : Calcul Energie Potentielle d'un Ressort 27-07-12 à 10:37

Quel est le vrai problème ?

Tu commences par écrire "Je dois calculer l'énergie potentielle du bloc de masse m"

... Et puis tu manipules des relations concernant le ressort ?

Pour l'énergie potentielle élastique du ressort, voir ici :

Mais ce calcul, n'a rien à voir avec l'énergie potentielle de pesanteur de la masse m.

Evidemment, pour étudier par exemple les oscillations de la masse m, il faut tenir compte à la fois l'énergie potentielle élastique du ressort et de l'énergie potentielle de pesanteur de la masse m ... et de son énergie cinétique, pour en tirer une équation différentielle du mouvement.

Posté par re : Calcul Energie Potentielle d'un Ressort 27-07-12 à 12:31

Tout d'abord, merci J-P de prendre le temps de me répondre.

Je suis d'accord avec toi sur le fait que pour étudier l'énergie potentielle du bloc, il faut tenir compte à la fois de l'énergie potentielle élastique du ressort ET de l'énergie potentielle de pesanteur.

Mon problème se trouve en réalité plus en amont et concerne le calcul du signe de l'énergie potentielle élastique du ressort. Je n'arrive pas à obtenir le bon "signe". D'après mes calculs, l'énergie potentielle devrait être "négative", soit -1/2kx². Or je sais que cela est faux. L'énergie potentielle du ressort est +1/2kx². Mais je n'arrive pas à comprendre où est l'erreur dans mon raisonnement.

Pour moi le vecteur $\vec{1}x$ et le vecteur $\vec{dr}$ sont opposés l'un à l'autre. En effet, le vecteur $\vec{1}x$ pointe vers la droite selon l'axe OX, et le vecteur direction $\vec{dr}$ pointe vers la gauche selon l'axe OX, càd dans le sens du déplacement. Dès lors, leur produit scalaire est négatif.

Posté par re : Calcul Energie Potentielle d'un Ressort 27-07-12 à 14:11

Tu mets un signe - en trop, parce que tu essaies de raisonner sur des formules sans essayer de comprendre physiquement ce que tu fais.

Supposons un ressort ni comprimé, ni étendu
On note x = 0 à l'endroit libre de l'extrémité du ressort.

a)
Si on amène le bout libre à l'abscisse L > 0, le ressort est donc allongé.
La force du ressort est à tout moment F = -k.x
Le travail de cette force sur le déplacement est donc W = S(de 0 à L) F dx = S(de 0 à L) -k.x dx = -k.L²/2
L'énergie élastique du ressort (avec le bout libre à l'abscisse L > 0) est donc Ee = - W = kL²/2

b)
Si on amène le bout libre à l'abscisse L < 0, le ressort est donc comprimé.
La force du ressort est à tout moment F = -k.x (mais x est ici < 0 sur tout le parcourt)
Le travail de cette force sur le déplacement est donc W = S(de 0 à L) F dx = S(de 0 à L) -k.x dx = -k.L²/2
L'énergie élastique du ressort (avec le bout libre à l'abscisse L < 0) est donc Ee = - W = kL²/2

Pour parler "physicien" :

Dans le cas a : F est < 0 et le déplacement est positif ---> W(de F) < 0 et Ee > 0
Dans le cas b : F est > 0 et le déplacement est négatif ---> W(de F) < 0 et Ee > 0

C'est un "à peu près" puisque l'énergie élastique du ressort est une fonction d'état, mais cela devrait te permettre de comprendre que le signe de Ee est bien positif dans tous les cas. (en prenant évidemment la position ressort non contraint comme référence pour l' énergie élastique nulle).

Posté par re : Calcul Energie Potentielle d'un Ressort 28-07-12 à 10:58

Un tout grand merci à toi J-P,

L'ennui, c'est que ce n'est pas tant la "physique" que je ne comprends pas , bien au contraire, mon raisonnement physique est le même que le tien. C'est juste que j'ai l'impression que ma "mathématique" n'est pas cohérente avec ce raisonnement physique. Alors que je suis presque sûr qu'il n'y a pas de fautes dans mes calculs. D'où ma remise en question.

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