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Calcul du travail de la force de pesanteur

Posté par
hino 15-08-19 à 10:16

Bonjour,

J'ai un petit blocage concernant le calcul du travail de la force de pesanteur selon le sens du vecteur de déplacement.

Les conditions :

- masse m
- axe $\vec{u_{z}}$ vers le haut
- $z_{b}>z_{a}$

Si je calcule le travail de la force de pesanteur dans le cas où un objet suit le chemin de A vers B supposé en ligne droite pour simplifier :

$W_{A \rightarrow B} = \int_{z_{a}}^{z_{b}}{mg(-\vec{u_{z}})}.\vec{dl} = \int_{z_{b}}^{z_{a}}{mg(-\vec{u_{z}})}.dz\vec{u_{z}} = -mg(z_{b}-z_{a}) < 0$

Dans ce cas $\vec{dl} = dz \vec{u_{z}}$ car le déplacement se fait de A vers B, donc suivant le vecteur $+\vec{u_{z}}$ .

Ok dans ce sens le travail est bien resistif.

En revanche, si je calcule le travail de la force de pesanteur dans le cas où un objet suit le chemin de B vers A :

$W_{B \rightarrow A} = \int_{z_{b}}^{z_{a}}{mg(-\vec{u_{z}})}.\vec{dl} = \int_{z_{b}}^{z_{a}}{mg(-\vec{u_{z}})}.dz(-\vec{u_{z}}) = mg(z_{a}-z_{b}) < 0$

Avec dans ce cas $\vec{dl} = dz (-\vec{u_{z}})$ car le déplacement se fait de B vers A, donc suivant le vecteur $-\vec{u_{z}}$ .

Or il me paraît logique que $W_{A \rightarrow B}=-W_{B \rightarrow A}$ et que le travail de B vers A soit moteur donc positif, donc il y a forcément un problème au niveau de l'orientation du vecteur $\vec{dl}$ ou des bornes...

Merci d'avance

Posté par re : Calcul du travail de la force de pesanteur 15-08-19 à 17:05

Bonjour
L'expression générale du déplacement élémentaire dans un repère donné est toujours :

$\overrightarrow{dl}=dx.\overrightarrow{u_{x}}+dy.\overrightarrow{u_{y}}+dz.\overrightarrow{u_{z}}$

cela quel que soit le sens du mouvement : si l'altitude augmente, dz>0 ; si l'altitude décroît : dz<0. Il n'y a pas lieu de changer l'expression algébrique en fonction du sens du mouvement.

Puisque l'axe (Oz) est vertical ascendant : $\overrightarrow{P}=-m.g.\overrightarrow{u_{z}}$ . L'expression du travail élémentaire lors d'un déplacement quelconque (pas nécessairement vertical) est donc :

$\delta W=\overrightarrow{P}.\overrightarrow{dl}=-m.g.dz$

D'où la première expression du travail d'un point A à un point B qui est toujours valide, que l'altitude augmente ou diminue.

L'autre façon de présenter les chose serait d'orienter l'axe (Oz) vers le bas. L'expression algébrique du déplacement élémentaire serait la même mais il faudrait poser :

$\overrightarrow{P}=m.g.\overrightarrow{u_{z}}$

ce qui inverserait le sens de l'expression du travail.

Posté par re : Calcul du travail de la force de pesanteur 17-08-19 à 18:26

Merci c'est exactement ce que je cherchais.

Bon week-end.

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