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CALCUL DU POTENTIEL ELECTROSTATIQUE (démonstration)

Posté par
Z3pro974 19-11-11 à 18:58

Bonsoir à toutes et à tous,
J'ai une petite question sur la démonstration du calcul du potenteil électrostatique V lorsque r<R.
D'après le théorème de Gauss, les formules et la relation entre E et V j'arrive à cette égalité :

\large dV=-\frac{\rho.r}{3.\epsilon_0}dr

J'intègre ensuite entre r et R :

\large V=\int_r^R dV  \Longrightarrow  V=-\frac{\rho.r}{3.\epsilon_0}\int_r^R dr  \Longrightarrow V(R)-V(r)=-\frac{\rho}{6.\epsilon_0}(R^2-r^2) \green (1)

Ensuite, c'est la partie que je ne comprends pas. Dans le cours, ils disent que par continuité du potentiel on calcule V(R) pour r=R, donc j'ai essayé et j'ai trouvé:

\large V(R)=\int_R^{+\infty}dV \Longrightarrow V(R)= -\frac{\rho}{3.\epsilon_0} \int_R^{+\infty}dR \Longrightarrow 0-V(R)=-\frac{\rho}{3.\epsilon_0}(0-\frac{R^2}{2} \Longrightarrow V(R)=-\frac{\rho .R^2)}{{\red 6}.\epsilon_0}

En remplaçant V(R) par son expression dans \large \green (1) j'obtiens :

\large -V(R)=-\frac{\rho}{6.\epsilon_0}(R^2-r^2) + \frac{\rho.R^2}{6.\epsilon_0}\Longrightarrow V(r)=(r^2-2R^2)

Ce qui est faux car normalement je devrais trouver :

\large si~r~\le R,~V(r)=\frac{\rho}{6.\epsilon_0}(3R^2-r^2)

J'ai beau touner le calcul  dans tous les sens mais je ne vois d'où vient ma faute.
Je pense que c'est la dernière intégration pour r=R.
J'ai intégré entre R et tout en sachant qu'il n'y a pas de charges à l' d'où V()=0 mais je n'en suis pas sûr.
Si quelqu'un pouvait m'aider à boucler ce chapître, ce serait

Posté par
albanre : CALCUL DU POTENTIEL ELECTROSTATIQUE (démonstration) 19-11-11 à 19:56

Bonjour,

Il y a quelque chose que je ne comprend pas. Vous devriez avoir deux expression différentes du potentiel pour les domaines r < R et r > R.

Parce que pour moi \int_{R}^{+\infty} - \frac{\rho}{3\epsilon_0} rd\ r = \pm \infty.

Avec la bonne expression du potentiel pour r > R, vous calculez la constante d'intégration pour que le potentiel soit nul à l'infini, puis vous écrivez la continuité en r = R pour finir de déterminer l'expression pour r < R.

Posté par
Z3pro974re : CALCUL DU POTENTIEL ELECTROSTATIQUE (démonstration) 19-11-11 à 20:10

Pour r>R on a \large V(r)~=~\frac{\rho~R^3}{3~\epsilon_0~r}

Et lorsque r<R je n'arrive pas à déterminer la constante V(R)
Faut-il que je prenne cette expression et que l'intègre entre R et ?

Posté par
albanre : CALCUL DU POTENTIEL ELECTROSTATIQUE (démonstration) 19-11-11 à 20:24

Non, non, v ous avez déjà tout. Voila la démarche :

r > R V(r) = \frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 r} qui est complètement déterminé car on impose un potentiel nul à l'infini : la constante d'intégration est null !

r < R V(r) = -\frac{\rho r^2}{6\epsilon_0} + cte là par contre, on a une constante d'intégration qu'il faut déterminer. Et on utlise pour cela la continuité du potentiel (vous savez pourquoi un potentiel est toujours continu ?).

Donc, par continuité, vous avez \frac{\rho R^2}{3\epsilon_0} = -\frac{\rho R^2}{6\epsilon_0} + cte, donc cte = \frac{\rho R^2}{2\epsilon_0}.

Donc, pour r < R : V(r) = -\frac{\rho r^2}{6\epsilon_0} + \frac{\rho R^2}{2\epsilon_0} = \frac{\rho}{6\epsilon_0}\left( 3R^2 - r^2\right). Ce que trouve votre prof.

Posté par
Z3pro974re : CALCUL DU POTENTIEL ELECTROSTATIQUE (démonstration) 19-11-11 à 20:26

Pour moi \large \int_R^\infty -\frac{\rho~r}{3~\epsilon_0}~dr~\Longrightarrow V(R)~=~-\frac{\rho~R^2}{6~\epsilon_0}

Posté par
albanre : CALCUL DU POTENTIEL ELECTROSTATIQUE (démonstration) 19-11-11 à 20:32

Non, cela fait l'infini, et de plus l'expresion de dV que vous intégrez est valable pour r < R. Dons vous ne pouvez pas intégrer de R à l'infini.

Il y a deux expression de dV, pour r < R et r > R. Il faut travailler avec les deux, chacune dans son domaine de définition.

Ce que j'ai écrit plus haut est juste. Reprenez le tout à tête reposée demain ou un peu plus tard

Posté par
Z3pro974re : CALCUL DU POTENTIEL ELECTROSTATIQUE (démonstration) 19-11-11 à 20:35

Ca marche, mais je suis très curieux...
Pouvez-vous juste me dire pourquoi le potentiel est toujours continu?

Posté par
Z3pro974re : CALCUL DU POTENTIEL ELECTROSTATIQUE (démonstration) 19-11-11 à 21:09

Quand aux expressions de dV j'ai trouvé :

\large Si~r\ge R,~alors~dV=-\frac{\rho~R^3}{3~\epsilon_0~r^2}~dr

\large Si~r\le R,~alors~dV=-\frac{\rho~r}{3~\epsilon_0}~dr

Vous confirmez?
Quant à mon prof, il se résume à un fascicule que j'ai reçu par correspondance, sinon ce serait trop facile!

Posté par
Z3pro974re : CALCUL DU POTENTIEL ELECTROSTATIQUE (démonstration) 19-11-11 à 21:23

Ouh là... Je viens de comprendre...

\large Si~r \ge R,~alors~V(r)=\frac{\rho~R^3}{3~\epsilon_0~r}

En utilisant la continuité du potentiel on peut dire que r=R et on peut alors écrire :

\large V(R)=-\frac{\rho~R^2}{3~\epsilon_0}

Que l'on remplace ensuite dans \large \green (1) pour finallement trouver :

\large si~r \le R,~V(r)=\frac{\rho}{6~\epsilon_0}(3R^2-r^2

N'est-ce pas ?
Cependant, je ne vois pas pourquoi le potentiel est toujours continu...


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