Bonjour
Tu as deux objectifs : échauffer un liquide de 288K à 328K puis maintenir ce liquide à T=328K constante malgré le réservoir mal calorifugé.
Pour le premier objectif, il faudrait fixer une durée à la période de montée en température en considérant que, pendant la phase de réchauffement, le débit d'eau chaude est maximum. Une fois cet objectif atteint, il suffirait de réduire le débit d'eau chaude pour maintenir la température fixe.
Le liquide n'est pas de l'eau pure ; quelle est sa capacité thermique massique ? Très proche de celle de l'eau ?
Saurais-tu établir l'équation différentielle vérifiée par la température du liquide  pendant la phase de réchauffement de celui-ci ?
Sous toute réserve ; je n'ai peut-être pas bien appréhendé la problématique...

Bonjour Vanoise,

Tout d'abord, merci de ta réponse,

Oui mais le principal objectif est d'atteindre les 90°C, le client nous laisse 12 H, période pendant laquelle le fluide doit passer de 15°C à 90°C. Une régulation de débit s'occupera ensuite de réguler la T° en fonction de la consigne. Considérons que le liquide à un Cp similaire à celui de l'eau (à savoir 4186 je crois). Non justement, je ne saurais comment établir cette équation différentielle..

Cdt

Merci d'avance

J'assimile donc le liquide à chauffer à de l'eau de masse m=40,5.10³kg de capacité thermique massique cp=4,18.10³JK^-1kg^-1.
La puissance thermique reçue par cette eau, fournie par la circulation d'eau dans le serpentin, vaut :


La puissance thermique perdue à travers la paroi du réservoir mal calorifugée est :


La variation élémentaire d'enthalpie du liquide entre les instants de date t et (t+dt) s'écrit :


Ce qui conduit à l'équation différentielle :


Équation différentielle que je te laisse résoudre. La seule inconnue est le débit massique du liquide dans le serpentin. Je te laisse vérifier si cela tient dans ton cahier des charges. Le cas particulier où la température T est fixe, te donne le débit nécessaire pour maintenir la température fixe :


avec T_équilibre=328K. Toujours en accord avec ton cahier des charges ?
Tu remarques bien sûr que la puissance thermique cédée par l'eau circulant dans le serpentin ne fait pas intervenir directement pour l'instant le dimensionnement du serpentin. Cela interviendra ensuite. Essaie déjà de réfléchir à tout cela et de terminer les calculs amorcés...

Désolé : j'ai commis une erreur de signe  sur la puissance fournie par l'eau du serpentin à l'eau du réservoir en permutant température d'entrée et température de sortie du serpentin ; je réécris les formules pour plus de clarté :




D'où l'équation différentielle :


Réflexion faite : considérer la température de sortie comme une constante me parait un simplification trop grossière. Avant d'intégrer l'équation différentielle, je crois qu'il faut commencer par exprimer T_sortie en fonction de T_entrée et des caractéristiques du serpentin. Je te laisse réfléchir à cela...

Bonne nouvelle : la puissance thermique de la chaudière est largement suffisante pour chauffer l'eau du serpentin. La puissance que doit fournir la chaudière est égale, en négligeant les pertes, à la puissance P₁ cédée par l'eau du serpentin à l'eau du réservoir. La valeur maximale de P₁ correspond à :


Même en imaginant quelques pertes, cela reste nettement inférieur à 500kW.

Pour exprimer la température de sortie, il faut assimiler le serpentin à un tuyau de longueur L, de diamètre d. Je note la température de l'eau dans le serpentin lorsqu'elle a parcouru la distance x dans celui-ci à partir de l'entrée. On fait un bilan de puissance sur une tranche élémentaire de serpentin de longueur élémentaire dx.

La puissance entrante à travers la section x est :
La puissance sortante est la somme de deux termes :
1° : la puissance sortante à travers la section (x+dx) où la température de l'eau est (+d) :
2° : la puissance cédée latéralement à l'eau du réservoir. C'est le produit de la constante d'échange (environ) par la surface latérale : et par la différence de température entre l'eau du serpentin et l'eau du réservoir (-T) ; ce qui donne :

La puissance entrante est égale à la somme des puissances sortantes en régime lentement variable :





Soit :


Sachant que =T_entrée en x=0, la résolution de l'équation précédente conduit à :


Je suppose le serpentin bien répartie dans l'eau du réservoir de façon à pouvoir considérer l'eau du réservoir comme homogène (même température T à un instant donné en tout point du réservoir. Sinon le calcul...
La température de sortie du serpentin est la valeur de t pour x=L :



Il te reste à injecter cette valeur dans l'équation différentielle dont T est solution. Intégrer cette équation te permettra de donner une valeur de L (longueur du serpentin) compatible avec l'ensemble du cahier des charges. On peut sans doute imaginer une simplification. Sachant que D_m est compris entre 2,1kg/s et 6,66kg/s, la valeur de est comprise entre 25,7m et 81m. On peut raisonnablement penser : L<< ce qui permet une simplification :





Hypothèse simplificatrice qu'il faudra vérifier une fois obtenue la valeur de L...
À toi de jouer !

J'interviens de nouveau sans attendre ta réponse car il me semble avoir détecté une incohérence dans les valeurs numériques des coefficients d'échange. Je suppose, compte tenu des unités que tu utilises, que ce coefficient d'échange global représente la conductance thermique surfacique h telle que :
P_th=h.S.T
avec S : aire de la surface d'échange entre les deux fluides
T : écart de températures entre les deux fluides
P_th : puissance thermique échangée entre les deux fluides.
Sous réserve qu'il s'agit bien de cela, je trouve deux incohérences.
1° : les deux valeurs fournies sont nettement trop élevées par rapport aux valeurs habituellement admises.
2° : la constante h' devrait être plus grande que la constante h. Les phénomènes de convection entre la paroi du réservoir et l'air extérieur ambiant créé une résistance thermique non négligeable qui vient s'ajouter à celle de la paroi du réservoir qui n'est peut-être pas négligeable, si cette paroi est isolée thermiquement alors que, par opposition, la paroi du serpentin est très bonne conductrice de la chaleur et la résistance thermique due à la convection est beaucoup plus faible pour un contact liquide-solide que pour un contact air -solide. Bref : à T et S identiques, la puissance thermique transférée entre deux liquides à travers une paroi métallique est beaucoup plus forte que la puissance thermique transférée à travers une paroi métallique (éventuellement doublé d'un isolant) entre un liquide et l'air.
Tout cela sous réserve : je n'ai peut-être pas compris ce que tu appelles "coefficient de transfert" et "coefficient d'échange".

Bonjour Vanoise,

Merci de ton aide précieuse..

Concernant le calcul de P2 j'avais une petite incertitude, es-tu sûr que le "S" c'est la surface de liquide à chauffer? je pensais de base que le "S" correspondait à la surface d'échange de la paroi du serpentin..
Ensuite j'avais une autre question (peut-être un peu bête), quand tu parle de "T", celui-ci correspond bien à la T° de mon liquide? (que l'on soit bien d'accord)
Pour ce qui est de Tequilibre, effectivement on est tout le temps en accord avec mon cahier des charges puisque notre température doit être de 55°C (minimum).

Pour le reste je te poserais des questions ultérieurement, je vais y aller étape par étape...   

P₂ désigne la puissance perdue par le liquide du réservoir et cédée à l'air ambiant dans la mesure où la parois du réservoir n'est pas parfaitement calorifugée.


où T est la température de l'eau du réservoir à une date quelconque. T est donc une valeur qui va varier au cours du temps entre 288K et 328K, cette dernière température étant celle que j'appelle T_equilibre.
Une fois cet équilibre atteint, la puissance que doit fournir l'eau du serpentin doit juste compenser la puissance P₂ perdue à travers la paroi du réservoir. La puissance fournie par l'eau du serpentin à l'équilibre est ainsi  :
P_équilibre=h.S.(T_équilibre-T_ext)
P_équilibre=1800*90*(328-273)8,91.10⁶W
Presque 9MW alors que ton dispositif de chauffage ne peut fournir que 334kW ! Je t'ai signalé le problème dès hier soir : la valeur du coefficient d'échange fourni est totalement invraisemblable : elle est beaucoup trop élevée ! Selon moi, h doit être inférieur à 10W.K^-1.m^-2, voire même inférieur à 1 si le réservoir est un minimum calorifugé. Il te faut revoir ta documentation. Attention : certaines doc fournissent une valeur de h mesurée en J.h^-1.K^-1.m^-2, voire même en cal.h^-1.K^-1.m^-2 ...
Revois aussi la constante d'échange h' entre l'eau du serpentin et l'eau du réservoir...

Bien, je vois ce que tu veux dire par la, donc si je comprends bien mon h' est vraiment trop élevé. Connais-tu l'ordre de grandeur de mon coefficient global de transfert pour ce milieu la?.. je vois pas où je pourrais le trouver...

Ensuite concernant la formule finale : Tsortie= Tentrée......... dois-je faire une intégrale entre 0 et la longueur L ?

cdt

Tu n'as pas bien compris. Tu confonds h et h'. Dans ce problème, il y a deux échanges de chaleur différents.
1° :Le transfert thermique entre l'eau du serpentin et l'eau du réservoir. La puissance thermique correspondante est notée P₁.  On peut l'exprimer simplement :

Ensuite, pour dimensionner le serpentin, il faut faire intervenir la constante d'échange que j'ai noté h'.
2° : le transfert thermique entre l'eau du réservoir et l'air extérieur plus froid. La puissance thermique est P₂ ; elle fait intervenir la constante d'échange que j'ai noté h et qui, comme expliqué précédemment, est très inférieure à la valeur que tu as indiquée.

As-tu revu les valeurs numériques de h et h' ? Pour h, je verrais bien une valeur 3600 fois plus faible que celle que tu indiques (confusion d'unité comme expliqué précédemment) mais cela demande à être précisé.
J'aimerais aussi avoir des précisions concernant l'eau circulant dans le serpentin. Tu précises :
T ° entrée : 350 K
T ° sortie : 338 K
Débit Max. : 6.66 l/s
Débit Min. : 2.1 l/s
On peut je pense considérer la température d'entrée comme fixe. La théorie montre que la température de sortie dépend du débit et de la température T de l'eau du réservoir. Sais-tu dans quelles conditions elle est mesurée ? En début de chauffage quand T=Ti=288K ? Cette précision simplifierait bien les calculs... On pourrait aussi imaginer que cette température reste fixe si on fait varier le débit pendant la période de chauffage mais cela me parait un peu compliqué et peu réaliste...

Bonjour Vanoise,

J'ai maintenant compris la différence entre h' et h, maintenant ce que j'ai du mal à cerner, c'est la formule finale de tout ça, celle qui prend en compte les perditions du serpentin à notre liquide et du liquide jusqu'à l'extérieur, pour ce qui est de valeur de h et h' je vais envoyer un mail au client pour être sur. Oui celle-ci a été mesurée lorsque T=Ti.
Autre question, pourquoi dans notre calcul de P1 faisons pas intervenir h' ?

Cdt

P₁ peut se calculer de façon globale en écrivant que la chaleur reçue par l'eau du réservoir est égale à celle perdue par l'eau du serpentin entre l'entrée et la sortie de celui-ci. Cela conduit à la formule :

L'évolution de la température de l'eau du serpentin en fonction de x : distance parcourue par l'eau du serpentin depuis l'entrée, obéit à une équation différentielle qui fait intervenir h'. Une fois résolue cette équation différentielle, on peut écrire, si L est la longueur du serpentin :
_(x=0) - _(x=L)=T_entrée - T_sortie
Il y a donc bien un lien entre P₁, h' et L.

En supposant comme tu viens de le dire que l'eau sort du serpentin à T_sortie=338K lorsque son débit vaut 6,66kg/s et que l'eau du réservoir est à sa température initiale 288K, en supposant aussi que la constante de transfert entre l'eau du réservoir et l'air extérieur est h=0,5W.K^-1.m^-2, on arrive à une durée de chauffage d'un peu plus de neuf heures. Ton cahier des charges est bien respectée. On pourrait d'ailleurs diminuer cette durée en isolant un peu mieux les parois du réservoir (économie d'énergie ! ).
Pour le dimensionnement du serpentin, j'attends les données constructeur mais a priori, ce serpentin me parait bien (trop ?) efficace : la chute de température de l'eau qui y circule me parait bien importante, ce qui risque de conduire à une longueur L du serpentin très importante... As-tu par hasard un ordre de grandeur de longueur de serpentin habituellement utilisée pour des cuves de cette taille ?

Bonjour,

En effet pour ce qui est de la longueur L du serpentin, nous étions parti sur 60 m de base, mais il était préférable de le réduire au maximum..

Quel calcul as-tu fais pour obtenir le temps de chauffe ?

L'essentiel est dans mon message du 28-03-18 à 19:47 . L'étude du serpentin a montré :



Dans le cas particulier du début du chauffage avec un débit d'eau maximum dans le serpentin :




Ces valeurs permettent de déterminer la valeur numérique de   qui peut être considéré comme une constante tant que le débit Dm reste fixe, ce qui est, je suppose, le cas pendant la période de montée en température de l'eau du réservoir de 288K à 328K. Un fois cette constante calculée, on exprime la chute de température de l'eau du serpentin à une date quelconque au cours de la période de chauffage où la température de l'eau du réservoir est T :




On injecte cette expression dans l'équation différentielle vérifiée par T qui a déjà été démontrée :




On résoud cette équation différentielle et on cherche à quelle date t correspond la température T=328K. J'ai choisi   mais il va falloir modifier sans doute en fonction des valeurs constructeur...

Je te laisse travailler. J'attends aussi la valeur de h' concernant le serpentin. La valeur que tu a fournie, proche de   , me paraît élevée...

Je n'ai pas recopier la bonne formule, celle du message du 28-03-18 à 17:29. Il faut lire :