Niveau école ingénieur

Calcul d'incertitudes, PV=nkT

Posté par
Hick_Jeck 01-10-10 à 17:50

Bonjour,
Voici un énoncé sur le calcul d'incertitudes qui me donne un peu de fil à retordre, notamment sur la compréhension de l'énoncé.

J'ai un gaz parfait dans une forme cubique de côté a₀. À la température T₀, la pression dans le réservoir est de P₀. La température passe de T₀ à T₀ + T avec T << T₀.

1) On suppose a₀ constant T, donc V est considéré comme constant.
Calculer alors la variation relative de pression (P/P₀) résultant de la loi PV=nkT de deux manières différentes (calcul classique, sans prendre en compte que T << T₀ puis par l'utilisation d'un calcul différentiel). Pourquoi obtient-on un résultat identique ?

Pour le calcul classique, voici ce que j'ai fait (merci de me corriger mes notations, notamment sur les différentielles et dérivées partielles si elles sont fausses, c'est la plus grande difficulté de cette leçon je crois) :
$\Delta P = \|P(T_0) - P(T_0+\Delta T)\| \\ \\ \Delta P = \| \frac{nkT_0-nk \cdot (T_0+\Delta T)}{V} \| \\ \\ \Delta P = \frac{nk}{V} \cdot \Delta T \\ \\ \frac{\Delta P}{P_0} = \frac{\frac{nk}{V} \cdot \Delta T}{P_0}$

Pour le calcul différentiel :
$dP = \frac{dP}{dT} \cdot dT \\ \\ dP = \frac{nk}{V} \cdot dT \\ \\ \Delta P = \frac{nk}{V} \cdot \Delta T \\ \\ \frac{\Delta P}{P_0} = \frac{\frac{nk}{V} \cdot \Delta T}{P_0}$

Maintenant, pourquoi obtient-on le même résultat, je ne sais pas exactement. Je dirais d'abord que c'est parce que l'équation est linéaire de degré 1, donc la tangente fait une approximation de la fonction qui est la fonction elle-même quel que soit T, donc dans la définition de la dérivée, $h \cdot \epsilon(h)$ est nul ou encore $f(x_0+h) - f(x_0) = h \cdot f'(x_0)$ . Après, ça, ça marche au niveau de la dérivée justement, mais je suppose qu'il faut l'expliquer avec des histoires de différentielles ou de dérivées partielles ? Le résultat aurait-il été identique si j'avais eu deux variables ?

2) Maintenant, calculer la variation de pression relative, en tenant compte de la variation de V (due à la dilatation du réservoir), sachant qu'à T=T₀+T, la longueur "a" représentant un côté du cube est $a=a_0 \cdot (1+ \Lambda \Delta T)$ . Ce calcul de variation sera effectué de deux manières différentes :
À l'aide des formules d'approximation du type $(1+\epsilon)^n \approx 1+n \epsilon$
Par l'utilisation du calcul différentiel.

Pour la première méthode, je ne comprends pas vraiment. Il faut partir comme au début de la première question ? Si oui, comment intégrer le fait que deux variables varient au niveau du calcul de variation ?

Pour la deuxième méthode, mon problème, c'est que a dépend de T et de $\Lambda$ , donc je ne sais pas comment exprimer les choses.

J'aurais ensuite une application numérique à faire, sur laquelle je pense pouvoir m'en sortir .

Merci d'avance à vous,
HJ