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Calcul commutateur
Bonjour j'ai un petit problème avec un calcul sur les commutateur
Par définition on a [A,B]=AB-BA
Voici mon problème :
On définit les opérateurs suivants :
(Dxf)(x)= df(x)/dx , (Xf)(x)=x.f(x) , (D2f)(x)= d²f(x)/dx² , (If)(x)=f(x)
Calculer [D2,Dx] , [X,Dx] , [X,D2]
ps : sur Tous les opérateur il y a des accents circonflexes quelqu'un sait comment on les fait?
Je vous remercie d'avance pour vos réponses
Pour faire un accent circonflexe, il faut utiliser le Latex (Voir ici : 
[lien]) mais bon, ne t'embête pas avec ça, c'est compréhensible... 
Applique simplement la définition qu'on te donne... (je t'épargne les arguments (x) pour meilleure lisibilité)
[D2, Dx]f
= (D2Dx - DxD2)f
= D2Dxf - DxD2f
= D2(Dxf) - Dx(D2f)
= d²( df/dx )/dx² - d( d²f/dx) )/dx
Et si la fonction f est dérivable une troisième fois, alors :
= d²( df/dx )/dx² - d( d²f/dx) )/dx
= d3f/dx3 - d3f/dx3
= 0
[X, Dx]f
= (XDx - Dx X)f
= XDxf - Dx Xf
= X(Dxf) - Dx(Xf)
= x.df/dx - d( x.f )/dx
= x.df/dx - {dx/dx.f + x.df/dx } (dérivée d'un produit)
= -dx/dx.f
= -f (car la dérivée de x par rapport à x =1)
Donc [X, Dx] = -I (Identité)
[X, D2]f
= (XD2 - D2 X)f
= XD2f - D2 Xf
= X(D2f) - D2(Xf)
= x.d²f/dx² - d²( x.f )/dx²
= x.d²f/dx² - d{ d(x.f)/dx }/dx
= x.d²f/dx² - d{ f + x.df/dx }/dx (dérivée d'un produit)
= x.d²f/dx² - df/dx - d( x.df/dx )/dx
= x.d²f/dx² - df/dx - ( df/dx + x.d²f/dx² ) (dérivée d'un produit)
= (-2).df/dx
Donc [X, D2] = (-2).Dx
- sauf erreur de ma part -
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