On considère une conduite cylindrique de longueur L, de rayon a et d'axe Ox.
La conduite contient un fluide incompressible, de masse volumique ρ, de capacité thermique c, de conductivité thermique λ, de viscosité η, en mouvement à la vitesse constante et uniforme v = v ux. On se place en régime stationnaire. La conduite est parfaitement calorifugée. T(0) = T1 et T(L) =T2

Établir l'équation différentielle satisfaite par la température T(x) en étudiant un système fermé mobile de longueur dx.

J'ai établi (avec un bilan temporel puis surfacique) le bilan suivant :

ρ.C.∂T/∂t =λ  ∂² T/∂x² + P

où P est la puissance volumique de la force de viscosité

On donne la force de viscosité : dF =   η dv/dr r dθ dz   (suivant x)

Pouvez-vous m'aider à calculer la  puissance volumique de la force de viscosité  ?