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Bilan de masse, équations de st venant
Bonjour,
je suis en M1 de Maths et dans le cadre de l'UE "équations aux dérivées partielles", ce qu'on fait se rapproche de la physique.
Là par exemple, je dois faire un bilan de masse, et je ne comprends pas bien.
On considère un canal, en pente, à fond plat, de largeur A, un fluide de densité d s'y écoule à vitesse u(x,t). On note h(x,t) la hauteur de fluide au point x.
Je dois faire un bilan de masse entre x+ dx pour trouver l'équation vérifiée par h.
Dans le corrigé de Centrale 2002 PC (sujet sur les équations de St Venant), ils écrivent que la masse rentrante en x entre t et t+dt est égale à d*A*h(x,t)*u(x,t)dt, mais je ne comprend pas bien pourquoi. Comment trouver ce résultat ?
Merci de votre aide !
En fait quand on fait ça, j'ai l'impression qu'on considère que la hauteur et la vitesse du fluide au point x reste constance selon le temps, ce qui est a priori faux (du moins c'est une approximation).
Si on fait cette approximation, alors je crois que je comprends : la "surface d'entrée" reste d'aire constante entre t et t+dt (elle reste égale à A*h(x,t)), la vitesse aussi reste égale à u(x,t), du coup il rentre d(x,t) kg de fluide par unité de temps et par unité de surface, donc un total de d*A*h(x,t)*u(x,t)dt
C'est ça ?
Salut,
Oui rigoureusement y a du h(x,t+dt) et u(x,t+dt) dans l'histoire, mais le terme "dt" est un infiniment petit ordre 1 en "t", et on se limite à l'ordre 1. Donc écrire u(x,t+dt)dt ça ferait un terme d'ordre 2 en "t" et c'est contraire à l'énoncé qui veut se limiter à des approximations à l'ordre 2.
Tiens je l'ai eu en DM je ne savais pas que c'était un sujet de concours ^^
Merci !
La question d'après d'après est pire !
On me demande de donner le flux de quantité de mouvement rentrant en x et sortant en x+dx.
Tout ça pour ensuite appliquer la 2e loi de Newton qui dit que dP/dt={somme des forces extérieures}, si P est la quantité de mouvement.
1 - Je ne vois pas comment calculer ces flux de quantité de mouvement.
2- Je ne vois pas en quoi ça va me permettre de trouver dP/dt !
Oui oui avec un bilan de quantité de mouvement + un pfd on peut trouver une relation super intéressante.
Ici on ne veut pas de bilan apparament, mais un flux.
(p et dS sont de même sens ici)
(p et dS sont de sens contraire)
En faisant la différence, tu pourras exhiber du
Et on peut relier ça avec les forces s'exerçant sur la particule de fluide en faisant un petit principe fondamental de la dynamique.
Les schémas sont essentiels dans ce genre d'exos!
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