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Base polaire vecteur

Posté par
lseioz 09-02-19 à 23:08

Bonsoir,
J'aimerai savoir pourquoi un vecteur position dans la base polaire est égale à son module multiplié par son vecteur unitaire Er.
Par ex: le vecteur OA = r Er
(avec r : module et Er le vecteur unitaire).
Je ne comprends pas pourquoi le Eo ( téta) n'apparait pas car Er représente la longueur et Eo l'angle. J'ai entendu dire que dans le Er il y a déjà un angle (Er=cos(o) ex +sin(o) ey dans la base cartésienne) mais c'est assez brumeux dans mon esprit.

PS : Comment fait-on les vecteurs dérivées (df/dx) ... sur un traitement de texte ? Faut-il un logiciel spécifique ?

Posté par re : Base polaire vecteur 09-02-19 à 23:32

Bonsoir
En coordonnées cartésiennes :

$\overrightarrow{OA}=x.\overrightarrow{e_{x}}+y.\overrightarrow{e_{y}}$

La distance de O à A, notée « r » est la norme du vecteur $\overrightarrow{OA}$ :

$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

Si tu divises le vecteur OA par sa norme r, tu obtiens un vecteur unitaire (de norme unité), ayant la direction et le sens du vecteur OA, ce vecteur unitaire est noté er :

$\overrightarrow{e_{r}}=\frac{\overrightarrow{OA}}{r}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\cdot\overrightarrow{e_{x}}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\cdot\overrightarrow{e_{y}}$

On voit bien ainsi que, si la norme du vecteur er est une constante (l'unité), sa direction et son sens dépendent de la position du point A. On peut aussi faire intervenir l'angle polaire :

$\theta=\left(\overrightarrow{e_{x}},\overrightarrow{e_{r}}\right$ ).
Un minimum de trigonométrie niveau enseignement secondaire montre :

$\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\cos\left(\theta\right)\quad;\quad\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\sin\left(\theta\right)\quad soit\quad\overrightarrow{e_{r}}=\cos\left(\theta\right)\cdot\overrightarrow{e_{x}}+\sin\left(\theta\right)\cdot\overrightarrow{e_{y}}$

Seuls des vecteurs non colinéaires au vecteur position OA font intervenir le vecteur unitaire $\overrightarrow{e_{\theta}}$ dans leur expression.
Une illustration et quelques compléments ici mais attention, ce qui est ici noté "r" est noté "" sur le site.

Posté par re : Base polaire vecteur 10-02-19 à 00:22

D'accord merci !!
Aurais-tu un exemple d'un vecteur non colinéaire au vecteur position OA car je ne vois pas comment ça pourrait être possible puisque c'est nous qui fixons le vecteur position ( ou il est toujours à (x,y) ? ). De plus, r indiquent seulement la longueur ou bien un angle aussi ( (x^2 +y^2)^1/2 peut indiquer plusieurs angles ) ?
Et comment tu fais pour écrire les vecteurs, téta, racine carrée... 😉

Posté par re : Base polaire vecteur 10-02-19 à 13:40

Citation :
Aurais-tu un exemple d'un vecteur non colinéaire au vecteur position OA

Le vecteur vitesse de A possède le plus souvent (pas toujours) une composante suivant $\vec{e_\theta}$

Citation :
De plus, r indiquent seulement la longueur ou bien un angle aussi

La position d'un point A dans un plan muni d'un repère nécessite la connaissance de deux grandeurs :
soit ses deux coordonnées cartésiennes x et y ;
soit ses deux coordonnées polaires r et

. Connaître r permet juste de dire que le point A est sur le cercle de centre O et de rayon r. Pour préciser la position de A sur ce cercle, il faut connaître la valeur de l'angle

. Les schémas du document que je t'ai indiqué illustrent bien cela. De plus : il faut que tu revois sérieusement ton cours de trigonométrie niveau enseignement secondaire. Impossible sinon de progresser en physique !

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