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Ballistique : tir d un canon vertical

Posté par
jabbahot
22-04-09 à 17:53

Bonjour,
voici ma question stupide.

Si à Paris par ex, je pointe un canon à la verticale, et que je tire un obus.
Où retombe t il ?

Merci pour vos éclaircissements

Posté par
Skops
re : Ballistique : tir d un canon vertical 22-04-09 à 18:25

Bonjour,

Je néglige tout frottements

Soit un obus de masse m situé à une hauteur h de la Terre et tiré à une vitesse V0
On prend un axe (Oz) ascendant de vecteur unitaire 4$\vec{k} et l'origine est au sol.

Calcul du temps de monté :

On a :

4$a=-g
4$v(t)=-gt+V_0
4$z(t)=-\frac{1}{2}gt^2+V_0t+h

L'obus va aller jusqu'à une altitude où la vitesse va être nul

4$v(t)=-gt+V_0=0\rightarrow t=\frac{V_0}{g}
Et a donc parcouru une distance 4$z(\frac{V_0}{g})=-\frac{1}{2}g(\frac{V_0}{g})^2+V_0(\frac{V_0}{g})+h=z(\frac{V_0}{g})=\frac{V_0^2}{2g}+h

Calcul du temps de descente :

On a :

4$a=-g
4$v(t)=-gt
4$z(t)=-\frac{1}{2}gt^2-\frac{V_0^2}{2g}+(\frac{V_0^2}{g})+h

Quand l'obus aura touché le sol, on aura z(t)=0 donc

4$0=-\frac{1}{2}gt^2+\frac{V_0^2}{2g}+h

Soit 4$t=\sqrt{2\frac{(\frac{V_0^2}{2g}+h)}{g}}

Le temps de parcours est donc

4$T=\frac{V_0}{g}+\sqrt{2\frac{(\frac{V_0^2}{2g}+h)}{g}}

La vitesse de rotation de la Terre est 1700km/h

Pendant la vitesse T, elle aura parcouru une distance D=vT soit

4$D=1700\times (\frac{V_0}{g}+\sqrt{2\frac{(\frac{V_0^2}{2g}+h)}{g}})\times\frac{1}{3600}


L'obus retombera donc à 4$1700\times (\frac{V_0}{g}+\sqrt{2\frac{(\frac{V_0^2}{2g}+h)}{g}})\times\frac{1}{3600} metres de l'endroit où tu l'as lancé

Sauf erreur

Skops

Posté par
Skops
re : Ballistique : tir d un canon vertical 22-04-09 à 18:58

Si tu as envie, tu peux prendre en compte une force de frottement du type 4$\vec{f}=-\alpha\vec{v} avec alpha constante

Skops

Posté par
J-P
re : Ballistique : tir d un canon vertical 22-04-09 à 18:58

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Posté par
J-P
re : Ballistique : tir d un canon vertical 22-04-09 à 19:36

Salut Skops

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Posté par
Skops
re : Ballistique : tir d un canon vertical 22-04-09 à 19:43

Salut JP

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Skops

Posté par
jabbahot
re : Ballistique : tir d un canon vertical 22-04-09 à 20:56

merci à tous les 2 pour vos ébauches de réponse.

Si je suppose que le canon n est pas rayé, que l'obus est une bille, et qu il n y a pas de vent.
y a t il toujours un decalage ou pas ?

Posté par
jabbahot
re : Ballistique : tir d un canon vertical 23-04-09 à 00:19

et si il y a toujours décalage, ce serait dans quelle direction Est, Ouest, Nord Sud par raaport au canon ?

Posté par
J-P
re : Ballistique : tir d un canon vertical 23-04-09 à 09:22

Resalut skops

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jabbahot,

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Posté par
jabbahot
re : Ballistique : tir d un canon vertical 23-04-09 à 09:49

Bonjour JP et Skops
D'abord merci pour ces explications tres claires et pour le temps passé.

On aurait pu penser que l'obus ayant une composante ascendante, puis descendante inverse dans la meme durée, que l'effet Coriolis aurait pu s'annuler et qu'il retomberait au meme endroit. Mais je pense que la rotation de la terre aurait due s'inverser egalement pour cela.

Le fait de tirer à Paris n'est pas si innocent que cela. Car le plan que décrit l'obus ne sera pas le meme que le plan de rotation du disque de la section du globe  à la lattitude de Paris. (contrairement à un tir sur l'équateur).

Dans mon intuition, car je ne saurais pas le démontrer, le plan de l'obus devrait tendre vers le nord faisant tomber l obus legerement au nord.

Posté par
Skops
re : Ballistique : tir d un canon vertical 23-04-09 à 10:02

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Skops

Posté par
jabbahot
re : Ballistique : tir d un canon vertical 23-04-09 à 10:04

euh finalement, j opterais pour le  Sud plutot....

Posté par
jabbahot
re : Ballistique : tir d un canon vertical 23-04-09 à 10:12

Salut Skops,

On pourrait effectivement réécrire le equation dans le reférentiel lié au socle du canon où se trouve l'observateur qui n'est pas gallileen en tenant compte de Coriolis, mais je ne saurais faire cela....

Posté par
Skops
re : Ballistique : tir d un canon vertical 23-04-09 à 10:43

J'essaierai tout à l'heure

Skops

Posté par
J-P
re : Ballistique : tir d un canon vertical 23-04-09 à 10:43

Pas vers le Sud jabbahot, vers l'ouest pour la raison que j'ai expliquée et ceci que le tir ait lieu à l'équateur ou à Paris.
Mais la déviation serait plus grande à l'équateur.
Elle serait nulle aux pôles.

Voila une phrase piquée sur le net: ici


:Soit un boulet tiré verticalement. Retombera-t-il dans le fût du canon?
La réponse est non : le boulet retombe à l'ouest.

En voila au moins un d'accord avec moi pour le sens de la déviation.
Et il a raison.





Posté par
jabbahot
re : Ballistique : tir d un canon vertical 23-04-09 à 11:06

Oui JP tout à fait d 'accord avec toi pour l Ouest.

ce dont je parle, c'est que le fait de tirer à Paris entraine une différence de plan entre celui de l obus et celui que parcourt le canon. Le canon suit le disque sur sa lattitude. L'obus est attiré vers le centre la terre plus au Sud.
Donc décalage fort vers l ouest, faible vers le sud (sauf si on tire à l 'équateur).

Posté par
Skops
re : Ballistique : tir d un canon vertical 23-04-09 à 12:02

Si on applique le PFD dans le référentiel en rotation
(Le repère est directe)
g est supposé constante


4$m\(a_x\\a_y\\a_z\)=m\(0\\0\\-g\)-2m\(0\\\omega cos(\mu)\\\omega cos(\theta)\)\^\(v_x\\v_y\\v_z\)-m\(0\\\omega ^2sin(\mu)\\\omega ^2cos(\theta)\)

On obtient donc

4$\{a_x=-2\omega cos(\mu)v_z+2\omega cos(\theta)v_y\\a_y=-2\omega cos(\theta)v_x-\omega ^2sin(\mu)\\a_z=-g+2\omega cos(\mu)v_x-\omega ^2 cos(\theta)

On cherche à montrer l'effet Coriolis donc on va négliger l'inertie d'entrainement

4$\{a_x=-2\omega cos(\mu)v_z+2\omega cos(\theta)v_y\\a_y=-2\omega cos(\theta)v_x\\a_z=-g+2\omega cos(\mu)v_x

On suppose que la vitesse suivant x et y est négligeable devant celle de (Oz)

4$\{a_x=-2\omega cos(\mu)v_z\\a_y=-2\omega cos(\theta)v_x\\a_z=-g

Monté

On considère que l'obus est tiré à partir de l'origine d'une vitesse vo

4$\{a_z=-g\\v_z=-gt+v_0\\z=\frac{-1}{2}gt^2+v_0t

Pendant la monté, on a donc une dévitation vers l'est de

4$\{a_x=2gt\omega cos(\mu)-2v_0\omega cos(\mu)\\v_x=gt^2\omega cos(\mu)-2v_0\omega cos(\mu)\\x=\frac{gt^3\omega cos(\mu)}{3}-2v_0\omega cos(\mu)t

Soit en 4$t=(\frac{v_0}{g}), la vitesse en z s'annule

4$x=\frac{g(\frac{v_0}{g})^3\omega cos(\mu)}{3}-2v_0\omega cos(\mu)(\frac{v_0}{g})

Est ce juste ?

Skops

Posté par
jabbahot
re : Ballistique : tir d un canon vertical 23-04-09 à 12:50

Skops
tu trouves une deviation vers l'est pour la monté alors qu'en théorie elle devrait etre deja à l ouest.
Tu n'a pas calculé pour la chute ?

Posté par
Skops
re : Ballistique : tir d un canon vertical 23-04-09 à 14:59

Problème sur l'intégration

4$\{a_x=2gt\omega cos(\mu)-2v_0\omega cos(\mu)\\v_x=gt^2\omega cos(\mu)-2v_0\omega cos(\mu)t\\x=\frac{1}{3}gt^3\omega cos(\mu)-v_0\omega cos(\mu)t^2

Soit 4$x=x=\frac{1}{3}g(\frac{v_0}{g})^3\omega cos(\mu)-v_0\omega cos(\mu)(\frac{v_0}{g})^2

En simplifiant 4$x=\frac{-2v_0^3\omega cos(\mu)}{3g^2^}

Skops

Posté par
Skops
re : Ballistique : tir d un canon vertical 23-04-09 à 15:27

Que ca varie en fonction du cube de v0, ca me parait beaucoup par contre

Skops

Posté par
Skops
re : Ballistique : tir d un canon vertical 23-04-09 à 16:07

Le dessin ne s'est pas affiché en plus

Ballistique : tir d un canon vertical

Skops

Posté par
J-P
re : Ballistique : tir d un canon vertical 23-04-09 à 16:09

Le cube de la vitesse initiale verticale est normal.

Par contre t = vo/g est la durée de la "montée" de l'obus ... et il doit encore redescendre...
Le décalage continue à grandir pendant la descente aussi.

Pour moi, le décalage est vers l'OUEST et vaut approximativement : 4.vo³.w.cos(L)/(3g²)

Je pense qu'il y a aussi un tout petit décalage vers le sud (du second ordre).

Posté par
jabbahot
re : Ballistique : tir d un canon vertical 23-04-09 à 16:12

en unité ca ne colle pas  d'ailleurs

Posté par
Skops
re : Ballistique : tir d un canon vertical 23-04-09 à 16:15

Au final, je trouve bien une déviation vers l'ouest qui vaut

4$d=\frac{\omega cos(\mu)v_0^3}{3g^2}

Skops

Posté par
Skops
re : Ballistique : tir d un canon vertical 23-04-09 à 16:17

JP >> D'où vient le facteur 4 ?

Skops

Posté par
Skops
re : Ballistique : tir d un canon vertical 23-04-09 à 16:35

En unité, ca colle

w est en rad par seconde (ou en seconde -1)

Skops

Posté par
jabbahot
re : Ballistique : tir d un canon vertical 23-04-09 à 16:39

Citation :
w est en rad par seconde (ou en seconde -1)



oups ,autant pour moi

Posté par
jabbahot
re : Ballistique : tir d un canon vertical 23-04-09 à 17:14

un truc que je comprends pas bien, ax est donné en fonction de vz, dans ce cas lors de la chute, le decalage ne s annule t il pas ?

Posté par
J-P
re : Ballistique : tir d un canon vertical 23-04-09 à 18:23

Skops,

Je t'ai dit pourquoi ton résultat était faux, le bidule monte et puis descend et le décalage a lieu pendant tout ce temps (et ne s'inverse pas évidemment).

Une autre manière d'y arriver est de regarder le lien que j'ai donné.

Sur ce lien on montre que :

Si on considère une "chute" d'objet d'une hauteur h le point d'impact au sol est décalé vers l'est par rapport à la verticale de :

Do = (2/3)w.To.h

Et pour la déviation pour un canon tirant verticalement vers le haut, le liel montre que le décalage est vers l'Ouest et vaut - 4Do (le - à cause que le décalage est vers l'ouest.)

Donc dans ce lien on trouve pour le canon un |décalage| vers l'ouest = 4Do = (8/3)w.To.h

Avec To = V(2h/g) et h = Vo²/(2g)

--> cela devient : Décalage = (8/3)w.To.h = (8/3)w. V(Vo²/g²) .Vo²/(2g)

Décalage = (4/3).w.Vo³/g²

Mais dans ce lien, les calculs ont été fait à l'équateur, si on les refais à une latitude L, alors on arrive à :

Décalage = (4/3).w.Vo³.cos(L)/g²

Ceci colle avec le résultat que j'ai annoncé.
-----
jabbahot

Il y a une différence entre lacher un objet d'une altitude h et étudier la partie verticale dans la descente du trajet d'un objet lancé verticalement du sol.

Si on lache un objet d'une hauteur h, il a au moment du lacher une vitesse "tangentielle" supérieure à celle du point du sol à sa verticale. (Car distance au centre de la Terre plus grande et donc ...)
L'objet va donc prendre de "l'avance" sur la Terre en cours de descente. (donc dévier vers l'Est)

Alors que si on a lancé le bidule du sol, arrivé à son point haut il a à ce moment une vitesse tangentielle plus faible que celle du point du sol à sa verticale. (puisque c'est celle qu'il avait au sol et qui a diminué en cours de montée).
L'objet va donc prendre du "retard" sur la Terre en cours de descente. (donc dévier vers l'Ouest)

Posté par
Skops
re : Ballistique : tir d un canon vertical 23-04-09 à 18:40

JP >>

Excuse moi de te re-déranger mais le résultat que j'ai annoncé à 16h15, je l'ai obtenue en tenant compte de la descente aussi, pas seulement de la monté.
C'est pour ca que je ne comprend pas l'erreur

Skops

Posté par
jabbahot
re : Ballistique : tir d un canon vertical 23-04-09 à 19:30

JP

Je sais bien que ce n est pas le même probleme que de lacher une bille d 'une hauteur h car la vitesse de départ n'est pas la meme en haut que celle au sol.

Mais dans notre probleme, d'apres les équations de Skops, l'accélération sur x est de signe différent selon que l obus monte ou qu il descende (à moins que je me trompe ?).
Il est vrai qu apres intégration, le resultat global est négatif. Ca je n'en ai jamais douté.

Posté par
J-P
re : Ballistique : tir d un canon vertical 23-04-09 à 20:24

Combien de temps l'obus reste t-il en l'air, montée et descente comprise ?

C'est t = 2Vo/g (et pas t = Vo/g)

Et que trouve-t-on en remplaçant t par 2Vo/g dans les équations du message du 23-04-09 à 14:59 ?

Et bien on trouve |x| = (4/3).w.Vo³.cos(L)/g²

Il y a une erreur de signe tout le long, mais soit.

Posté par
Skops
re : Ballistique : tir d un canon vertical 23-04-09 à 20:37

Ok merci beaucoup

Skops

Posté par
jabbahot
re : Ballistique : tir d un canon vertical 23-04-09 à 22:54

Citation :
Mais dans notre probleme, d'apres les équations de Skops, l'accélération sur x est de signe différent selon que l obus monte ou qu il descende (à moins que je me trompe ?).


Effectivement, je me trompe.
L'etude de la fonction Vx montre qu'elle ne change pas de signe durant tout le vol. Decalage du début à la fin vers l'ouest.

Bravo à tous les deux pour cette demo !
Et merci.

Posté par
Skops
re : Ballistique : tir d un canon vertical 23-04-09 à 23:29

De rien pour ma part

Skops



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